Sommes de carrés

En mathématiques, de nombreuses notions font intervenir des sommes de carrés de nombres réels ou de polynômes. Cette page en répertorie certaines.

Statistique modifier

La variance d'une série statistique est la moyenne du carré des écarts à la moyenne, soit la somme des carrés des écarts divisée par l'effectif.
L'erreur quadratique moyenne est la moyenne des carrés des écarts entre un estimateur et la série.
La droite de régression obtenue par la méthode des moindres carrés est la droite minimisant la somme des carrés des écarts entre les ordonnées des points du nuage et les ordonnées des points de la droite.

Théorie des nombres modifier

Dans ce paragraphe, "carré" signifie "carré d'entier".

Les nombres pyramidaux carrés sont les sommes des $n$ premiers carrés.
Le théorème des quatre carrés de Lagrange stipule que tout entier naturel est somme de quatre carrés ; pour le nombre de décompositions, voir le théorème de Jacobi.
Le théorème des trois carrés, indique quels nombres peuvent être décomposés en somme de trois carrés.
Les triplets pythagoriciens sont les triplets d'entiers tels que la somme des carrés des deux premiers est égale au carré du troisième.
Un nombre premier pythagoricien est un nombre premier qui est la somme de deux carrés ; le théorème des deux carrés de Fermat indique quels sont ces nombres.
Les quadruplets pythagoriciens sont les quadruplets d'entiers tels que la somme des carrés des trois premiers est égale au carré du quatrième.
La quadrature du carré est un problème combinatoire consistant à partager un carré de longueur de côté entière en de tels carrés plus petits.

Combinatoire modifier

La somme des carrés des termes de la ligne d'indice $n$ du triangle de Pascal est égale au terme central de la ligne 2 $n$ : , $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}$ , voir à identité de Vandermonde.

Analyse modifier

Le problème de Bâle, résolu par Euler, demandait une expression exacte de la somme des carrés des inverses des entiers strictement positifs.

Algèbre et géométrie algébrique modifier

L'identité de Diophante montre que l'ensemble des sommes de deux carrés est stable par multiplication ; l'identité des quatre carrés d'Euler montre que l'ensemble des sommes de quatre carrés est stable par multiplication.

Tout polynôme à une variable à coefficients réels à valeurs positives ou nulles (dit "positif") peut être décomposé comme somme de deux carrés de polynômes.
En 1971, Pourchet a prouvé que tout polynôme à une variable positif à coefficients rationnels est somme de cinq carrés de polynômes rationnels^[1].
Pour le problème de la détermination des polynômes homogènes réels à plusieurs variables positifs qui sont somme de carrés de tels polynômes, voir à polynôme somme de carrés.
Pour le problème de la représentation des polynômes réels à plusieurs variables positifs comme somme de carrés de fonctions rationnelles, voir le dix-septième problème de Hilbert.
La somme des carrés des dimensions des représentations complexes non équivalentes par paires d'un groupe fini est égale à la cardinalité de ce groupe.

Géométrie euclidienne modifier

Le théorème de Pythagore stipule que le carré de l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des carrés des deux autres côtés.
La règle du parallélogramme stipule que la somme des carrés des longueurs des côtés est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales.
la somme des carrés des longueurs des médianes d'un triangle est égale aux trois quarts de la somme des carrés des longueurs de ses côtés, voir à théorème de la médiane.
La somme des carrés des longueurs des côtés d'un pavé droit est égale au carré de la longueur d'une diagonale.
La distance euclidienne entre deux points d'un espace euclidien est la racine carrée de la somme des carrés des différences entre les coordonnées.
La formule de Héron pour l'aire d'un triangle peut être réécrite en fonction de la somme des carrés des côtés du triangle (et de la somme des bicarrés des côtés).
L'inverse du carré de la hauteur d'un triangle rectangle est égale à la somme des carrés des inverses des longueurs des côtés de l'angle droit : ${\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}$ .
Le théorème du drapeau britannique stipule que la somme des carrés des distances d'un point intérieur à un rectangle à deux sommets opposés est égale à l'autre somme.
La somme des carrés des distances d'un point à $n$ points d'un espace euclidien est minimale à l'isobarycentre de ces points, voir à fonction scalaire de Leibniz.
Le théorème de Descartes concernant quatre cercles mutuellement tangents fait intervenir la somme des carrés des inverses de leurs rayons.

Voir aussi modifier

Carré parfait

Références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sum of squares » (voir la liste des auteurs).

↑ Tristan Vaccon, « Rendre effectif le théorème Pourchet : décomposer un polynôme univarié positif à coefficients rationnels comme somme de cinq carrés »

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[1] Tristan Vaccon, « Rendre effectif le théorème Pourchet : décomposer un polynôme univarié positif à coefficients rationnels comme somme de cinq carrés »

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