Sous-groupe de Fitting

Soit G un groupe, au sens mathématique. Le sous-groupe de Fitting de G est un certain sous-groupe caractéristique de G qui intervient de façon importante dans la partie de la théorie des groupes finis appelée analyse locale.

Théorème de Fitting

Le théorème de Fitting, énoncé et démontré par Hans Fitting en 1938, peut s'énoncer comme suit :

Si H₁, ...., H_n sont des sous-groupes normaux nilpotents de G, de classes de nilpotence respectives c₁, ...., c_n, alors le sous-groupe de G engendré par H₁, … , H_n est lui aussi un sous-groupe normal nilpotent de G et sa classe de nilpotence est inférieure ou égale à la somme c₁ + .... + c_n de celles des H_i.

Dans ce qui suit, on donne une démonstration dans le langage des commutateurs de sous-groupes. On peut rédiger la démonstration en donnant la préférence aux commutateurs d'éléments.

Démonstration

Si X et Y sont deux parties d'un groupe G, nous noterons XY et nous appellerons produit de X et de Y (dans cet ordre) l'ensemble des éléments de G de la forme xy avec x dans X et y dans Y. On sait que si H et K sont des sous-groupes normaux de G, le sous-groupe de G engendré par H et K est leur produit HK = KH. On en tire par récurrence sur n que si K₁, ...., K_n sont des sous-groupes normaux de G, alors le sous-groupe de G engendré par K₁, ...., K_n est leur produit K₁ .... K_n, où l'ordre des facteurs n'a pas d'importance. On sait que le sous-groupe engendré par une famille de sous-groupes normaux est lui-même un sous-groupe normal, donc K₁ .... K_n est un sous-groupe normal de G.

Pour des sous-groupes (non forcément normaux) L₁, ...., L_n de G, n étant un nombre naturel au moins égal à 1, on définit [L₁, ...., L_n] par récurrence sur n en posant

[L₁] = L₁

et

[L₁, ...., L_n] = [ [L₁, ...., L_n-1], L_n]

si n > 1. (Le symbole [L, M], où L et M sont des sous-groupes de G, est défini à l'article Commutateur (théorie des groupes).)

En particulier, si les L_i sont tous égaux à un même sous-groupe L de G, [L₁, ...., L_n] = Cⁿ(L), où Cⁿ(L) est le n-ième sous-groupe apparaissant dans la suite centrale descendante de L. (Rappelons que cette suite se définit par récurrence sur n en posant C¹(L) = L et, pour n > 1, Cⁿ(L) = [L, C^n-1(L)] = [C^n-1(L), L].)

On sait que si A et B sont deux sous-groupes normaux de G, alors [A, B] est un sous-groupe normal de G. On en tire par récurrence sur n que si L₁, ...., L_n sont des sous-groupes normaux de G, alors [L₁, ...., L_n] est un sous-groupe normal de G.

Lemme. Soient N₁, ...., N_s des sous-groupes normaux de G. Si i₁ < ... < i_k sont des éléments de {1, 2, ... , s}, alors

$[N_{1},....,N_{s}]\subseteq [N_{i_{1}},....,N_{i_{k}}].$

Démonstration par récurrence sur s, en distinguant les deux cas i_k < s et i_k = s, et en utilisant le fait que si A et B sont des sous-groupes normaux de G, alors [A, B] est contenu dans A et dans B.

Pour prouver le théorème de Fitting, il suffit de prouver que si H et K sont des sous-groupes normaux nilpotents de G, de classes de nilpotence respectives c₁ et c₂, alors HK est lui aussi un sous-groupe normal nilpotent de G et sa classe de nilpotence est inférieure ou égale à c₁ + c₂. (Le cas général s'en déduit par récurrence.)

Que HK soit normal résulte du fait que le sous-groupe engendré par une famille de sous-groupes normaux de G est lui-même normal dans G. Il reste donc à démontrer que HK est nilpotent de classe au plus c₁ + c₂.

On sait que, si H, K, L sont des sous-groupes normaux de G, alors [HK, L] = [H, L] [K, L], ce qui peut encore s'écrire [L, HK] = [L, H] [L, K]. On en tire par récurrence que Cⁿ(HK) est le produit (au sens défini ci-dessus) des sous-groupes de G de la forme [A₁, ...., A_n], où, pour tout i, A_i est égal à H ou à K. Si n = c₁ + c₂ + 1, il y a ou bien au moins c₁ + 1 des A_i qui sont égaux à H, ou bien c₂ + 1 des A_i qui sont égaux à K. D'après le lemme ci-dessus, il en résulte que, pour cette valeur de n, [A₁, ...., A_n] est contenu dans $C^{c_{1}+1}(H)=1$ ou dans $C^{c_{2}+1}(K)=1$. Dans les deux cas, [A₁, ...., A_n] = 1, donc $C^{c_{1}+c_{2}+1}(HK)=1$, donc HK est nilpotent de classe au plus c₁ + c₂, comme annoncé.

Définition du sous-groupe de Fitting

Il résulte du théorème de Fitting que si le groupe G est fini, le sous-groupe F(G) de G engendré par les sous-groupes normaux nilpotents de G est lui-même normal et nilpotent. Il est clair que F(G) est alors le plus grand (relativement à l'inclusion) des sous-groupes normaux nilpotents de G et que c'est un sous-groupe caractéristique de G. On pose dès lors la définition suivante :

Si G est un groupe fini, on appelle sous-groupe de Fitting de G et on note F(G) ou Fit(G) le plus grand (relativement à l'inclusion) des sous-groupes normaux nilpotents de G.

On montre que si G est un groupe fini et que, pour tout diviseur premier p de l'ordre de G, on désigne par O_p(G) l'intersection de tous les p-sous-groupes de Sylow de G (intersection qui est aussi le plus grand p-sous-groupe normal de G), alors F(G) est le produit direct des O_p(G), où p parcourt les diviseurs premiers de l'ordre de G.

Prouvons que si le groupe G est infini, il n'a pas forcément un plus grand sous-groupe normal nilpotent. On sait que le sous-groupe du groupe général linéaire GL_n(K) formé des matrices triangulaires supérieures avec des 1 sur la diagonale principale est nilpotent de classe n – 1. Il existe donc une suite infinie (G_n) telle que, pour chaque n, G_n soit un groupe nilpotent de classe n. Désignons par G la somme restreinte externe de la famille (G_n). Chaque G_n est un sous-groupe normal nilpotent de G et les G_n engendrent G. Donc, si G avait un plus grand sous-groupe normal nilpotent, ce sous-groupe serait G tout entier, donc G serait nilpotent. Soit alors c la classe de nilpotence de G; chaque G_n serait nilpotent de classe ≤ c, ce qui est faux si n > c.

On ne peut donc pas définir de façon générale le sous-groupe de Fitting d'un groupe comme le plus grand de ses sous-groupes normaux nilpotents. Certains auteurs disent qu'un groupe (non forcément fini) G admet un sous-groupe de Fitting si et seulement s'il admet un plus grand sous-groupe normal nilpotent (et c'est alors ce sous-groupe qui est appelé le sous-groupe de Fitting de G). Selon cette définition, un groupe infini n'a pas forcément de sous-groupe de Fitting. D'autres auteurs définissent le sous-groupe de Fitting d'un groupe quelconque G comme le sous-groupe de G engendré par les sous-groupes normaux nilpotents de G. Avec cette définition, tout groupe admet un sous-groupe de Fitting (qui n'est pas forcément nilpotent).

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Radical de Hirsch-Plotkin (en)