« Fonction multivaluée » : différence entre les versions
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Correction d'une erreur: l'intégrale de 0 à +l'infini de 1/(1+x²), (cas où a=0) vaut la limite de l'arc tangente en l'infini, c'est à dire pi/2 et non pi. |
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Ligne 152 :
:<math> \mathrm{log}(z) = \ln|z| + i\theta, \quad (\theta\in[0, 2\pi[) </math>
(le contour "entoure" donc la discontinuité de la détermination que nous avons choisie), on obtient : pour <math>0<|a|<1 </math> : <math>I = \pi{\sin(a\pi/2)+\sin(3a\pi/2)\over \sin(a\pi/2)} </math> et pour <math> a=0</math>, l'intégrale vaut <math>\pi/2</math>.
{{boîte déroulante|titre=Développement|contenu=La fonction ''f'' définie par <math> f(z) = {z^a\over 1+z^2} </math> a deux pôles simples (<math>z_{1,2}=\pm i </math>) tous deux d'[[Indice (analyse complexe)|indice]] +1 par rapport à <math> \gamma </math> (pour <math>\epsilon<1</math> et <math> R>1</math>). A la limite <math>\epsilon\to 0 </math> et <math>R\to \infty</math>, le [[théorème des résidus]] nous donne donc :
Ligne 192 :
:<math> I = \pi{ \cos(a\pi/2)-\cos(3a\pi/2) \over 1-\cos(a\pi/2)} = \pi{\sin(a\pi/2)+\sin(3a\pi/2)\over \sin(a\pi/2)}</math>
où l'on a utilisé la partie réelle de <math>I^*</math> pour la première égalité et la partie imaginaire pour la seconde. Pour <math> a=0</math>, l'intégrale est connue et vaut <math>\pi/2</math>
=== Exemple avec la racine carrée complexe ===
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