« Correspondance et relation » : différence entre les versions
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Les opérations purement ensemblistes sur les correspondances n'offrent aucun intérêt. Par exemple, la réunion ensembliste de deux correspondances n'est pas en général une correspondance.
Par contre, il est possible de définir des correspondances dont le graphe est le résultat d'opérations ensemblistes sur d'autres graphes :
* la '''réunion relationnelle''' de deux correspondances <math> \mathfrak{C}_1 </math> et <math> \mathfrak{C}_2 </math>, notée « <math> \mathfrak{C}_1 \hat \cup \, \mathfrak{C}_2 </math>» ( lire « C1 union C2 » ) est la correspondance dont :
:En d'autres termes, si <math> \mathfrak{C}_1 = ( E_1 , F_1 , G_1 ) </math> et si <math> \mathfrak{C}_2 = ( E_2 , F_2 , G_2 ) </math>, alors :
::<math>
* l''''intersection relationnelle''' de deux correspondances <math> \mathfrak{C}_1 </math> et <math> \mathfrak{C}_2 </math>, notée « <math> \mathfrak{C}_1 \hat \cap \, \mathfrak{C}_2 </math>» ( lire « C1 inter C2 » ) est la correspondance dont :
:- l'ensemble de départ est l'intersection des ensembles de départ des deux correspondances,
:- l'ensemble d'arrivée est l'intersection de leurs ensembles d'arrivée,
:- et le graphe est l'intersection de leurs graphes.
:En d'autres termes, si <math> \mathfrak{C}_1 = ( E_1 , F_1 , G_1 ) </math> et si <math> \mathfrak{C}_2 = ( E_2 , F_2 , G_2 ) </math>, alors :
::<math> \mathfrak{C}_1 \hat \cap \, \mathfrak{C}_2 = ( E_1 \cap E_2 , F_1 \cap F_2 , G_1 \cap G_2 ) </math>
* la '''différence relationnelle''' de deux correspondances <math> \mathfrak{C}_1 </math> et <math> \mathfrak{C}_2 </math>, notée « <math> \mathfrak{C}_1 \hat \backslash \, \mathfrak{C}_2 </math>» ( lire « C1 moins C2 » ) est la correspondance dont :
:- l'ensemble de départ est l'ensemble de départ de la première correspondance,
:- l'ensemble d'arrivée est l'ensemble d'arrivée de cette correspondance,
:- et le graphe est la différence des graphes des deux correspondances.
:En d'autres termes, si <math> \mathfrak{C}_1 = ( E_1 , F_1 , G_1 ) </math> et si <math> \mathfrak{C}_2 = ( E_2 , F_2 , G_2 ) </math>, alors :
::<math> \mathfrak{C}_1 \hat \backslash \, \mathfrak{C}_2 = ( E_1 , F_1 , G_1 \backslash G_2 ) </math>
* la '''différence symétrique relationnelle''' de deux correspondances <math> \mathfrak{C}_1 </math> et <math> \mathfrak{C}_2 </math>, notée « <math> \mathfrak{C}_1 \hat \Delta \, \mathfrak{C}_2 </math>» ( lire « C1 delta C2 » ) est la correspondance dont :
:- l'ensemble de départ est la réunion des ensembles de départ des deux correspondances,
:- l'ensemble d'arrivée est la réunion de leurs ensembles d'arrivée,
:- et le graphe est la différence symétrique de leurs graphes.
:En d'autres termes, si <math> \mathfrak{C}_1 = ( E_1 , F_1 , G_1 ) </math> et si <math> \mathfrak{C}_2 = ( E_2 , F_2 , G_2 ) </math>, alors :
::<math> \mathfrak{C}_1 \hat \Delta \, \mathfrak{C}_2 = ( E_1 \cup E_2 , F_1 \cup F_2 , G_1 \Delta G_2 ) </math>
* la correspondance '''complémentaire relationnelle''' d'une correspondance <math> \mathfrak{C} </math> , notée « <math> \bar \mathfrak{C} </math>» ( lire « C barre » ) est la correspondance dont :
:- l'ensemble de départ est celui de <math> \mathfrak{C} </math>,
:- l'ensemble d'arrivée est celui de <math> \mathfrak{C} </math>,
:- et le graphe est le complémentaire de celui de <math> \mathfrak{C} </math> dans le produit cartésien des ensembles de départ et d'arrivée.
:En d'autres termes, si <math> \mathfrak{C} = ( E , F , G ) </math> , alors :
::<math> \bar \mathfrak{C} = ( E , F , E \times F - G ) </math>
En pratique, quand nous rencontrerons une opération ensembliste sur des correspondances, il s'agira en fait d'un abus de langage : par exemple, l'intersection « <math> \mathfrak{C}_1 \cap \, \mathfrak{C}_2 </math> » désignera en fait l'intersection ''relationnelle'' « <math> \mathfrak{C}_1 \hat \cap \, \mathfrak{C}_2 </math> » . Cet abus de langage est sans conséquence puisque les véritables opérations ensemblistes sur les correspondances n'offrent pas d'intérêt. De plus, il rejoint et renforce celui consistant à confondre les correspondances avec leur graphe.
== Restrictions et extensions d'une correspondance ==
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