« Groupe alterné » : différence entre les versions
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→Jeu de taquin : plus clair |
Précision dans la démonstration de la simplicité de A_n |
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Ligne 134 :
La méthode proposée ici est peu technique. Il en existe d'autres<ref name=Hindry/>.
Soient ''H'' un sous-groupe normal du groupe alterné ''A<sub>n</sub>'', non réduit à l'élément neutre, <math>\sigma</math> un élément de ''H'' distinct du neutre et <math>\tau</math> un 3-cycle qui ne commute pas à <math>\sigma</math>. Il est possible de considérer un tel <math>\tau</math> puisque le centre du groupe alterné est trivial et que les 3-cycles l'engendrent. Alors la permutation <math>(\tau\sigma\tau^{-1})\sigma^{-1}=\tau(\sigma\tau^{-1}\sigma^{-1})</math> est à la fois un élément de ''H'' et un produit non trivial de deux 3-cycles. Elle est donc de l'une des formes suivantes (avec <math>a,b,</math>… distincts) :
#<math>(abc)(abc)=(acb)</math> ou <math>(abc)(cbd)=(abd)</math> ;
#<math>(abc)(bcd)=(ab)(cd)</math>, auquel cas ''H'' contient aussi (par [[#Structure|conjugaison dans ''A<sub>n</sub>'' pour ''n''≥5]]) une permutation de la forme <math>(cd)(be)</math> et donc également la composée <math>(ab)(cd)(cd)(be)=(ab)(be)=(abe)</math> ;
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