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« Puissance du continu » : différence entre les versions

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{{ébauche|mathématiques}}
 
En [[mathématiques]], plus précisément en [[théorie des ensembles]], on dit dqu'un [[ensemble]] ''E'' qu'il a la '''puissance du continu''' (ou parfois le '''cardinal du continu''') s'il est [[équipotence|équipotent]] à l'ensemble ℝ des [[nombre réel|nombres réels]], c'est-à-dire s'il existe une [[bijection]] de ''E'' dans lR ℝ.
 
Le [[nombre cardinal|cardinal]] de ℝ est parfois noté <math>\mathfrak c</math>, en référence au {{Lien|trad=Continuum (set theory)|Continu (théorie des ensembles)|texte=continu}}, nom donné à l'[[ensemble ordonné]] (ℝ, ≤). Cet ordre (et ''a fortiori'' le cardinal de l'ensemble sous-jacent) est entièrement déterminé ([[à quelque chose près|à isomorphisme près]]) par quelques propriétés classiques.
 
Il est aussi couramment noté 2{{exp|ℵ₀}}, parce que ℝ est équipotent à l'[[ensembleEnsemble des parties d'un ensemble|ensemble ''P''(ℕ) des parties]] de l'ensemble ℕ des [[entier naturel|entiers naturels]], dont la cardinalité (le [[ensemble dénombrable|cardinalité dénombrable]]) est notée ℵ₀, et que pour tout ensemble ''E'', le cardinal de ''<math>\mathcal{P''}(''E'')</math> est <math>2^{\mathrm{exp|Card}\ E}</math>, où <math>\mathrm{Card}\ E</math> désigne le cardinal de ''E''}}.
 
== Histoire ==
On doit cette notion à [[Georg Cantor]] qui a montré, dans un article paru en 1874, que le continu n'était pas équipotent au dénombrable, et par là-même l'existence de plusieurs « infinis ».
 
Cantor a tenté vainement de démontrer que tout sous-ensemble des réels était soit dénombrable, soit de la puissance du continu. Cette hypothèse, dite [[hypothèse du continu]], ne peut être ni confirmée ni infirmée dans la [[théorie des ensembles]] [[Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel|ZFC]] dont on pense que c'est une formalisation assez fidèle de la théorie de Cantor.
 
== La puissance du continu est la cardinalité de l'ensemble des parties de ℕ ==
 
[[Ensemble des parties d'un ensemble#Notation exponentielle|Il revient au même]] — en identifiant chaque partie de ℕ à sa [[Fonction caractéristique (théorie des ensembles)|fonction caractéristique]] — d'affirmer que ℝ est équipotent à l'[[Exponentiation ensembliste|ensemble {0, 1}{{exp|ℕ}}]] des [[Suite (mathématiques)|suites]] de zéros et de uns. L'idée principale pour le démontrer est de considérer une telle suite {{nobr|(''k''{{ind|0}}, ''k''{{ind|1}}, … )}} comme le développement 0,''k''{{ind|0}}''k''{{ind|1}}… en [[Base (arithmétique)|base ''n'']] d'un réel compris entre 0 et 1. On peut également remarquer qu'une [[construction des nombres réels]] à partir des rationnels, par exemple celle par les [[coupures de Dedekind]], induit naturellement une [[Injection (mathématiques)|injection]] de ℝ dans ''P''(ℚ) (donc dans ''P''(ℕ) car ℚ est dénombrable).
* En base ''n'' > 2, l'application qui à toute suite de zéros et de uns associe le réel qu'elle représente est une [[Injection (mathématiques)|injection]] de {0, 1}{{exp|ℕ}} dans [0, 1[ donc dans ℝ<ref group=note>Une variante est de considérer, pour ''n'' = 3, l'[[ensemble de Cantor]].</ref>, si bien que card(''P''(ℕ)) ≤ card(ℝ). Par ailleurs, l'application qui à tout réel ''x'' associe l'ensemble[[Coupure de Dedekind#Construction des [[Nombrenombres rationnelréels|rationnels]]ensemble inférieursdes ourationnels égauxstrictement inférieurs à ''x'']] est également injective donc card(ℝ) ≤ card(''P''(ℚ)) = card(''P''(ℕ)). Le [[théorème de Cantor-Bernstein]] permet de conclure.
* La [[base 2]] nécessite une précaution, à cause des possibilités de « développement impropre » (par exemple : 0,0111… = 0,1000…), mais permet de donner une preuve qui ne s'appuie pas sur le théorème de Cantor-Bernstein<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Introduction aux mathématiques/Rudiments de combinatoire#Ensembles non dénombrables|« Ensembles non dénombrables »|début=Voir par exemple}}</ref>.
*La [[base 2]] nécessite une précaution, à cause des possibilités de « développement impropre » (par exemple : 0,0111… = 0,1000…), mais permet de donner une preuve qui ne s'appuie pas sur le théorème de Cantor-Bernstein. Les développements qui se terminent par une infinité de 0 correspondent aux parties finies de ℕ et ceux qui se terminent par une infinité de 1 aux parties [[Sous-ensemble cofini|cofinies]], c'est-à-dire de [[Complémentaire (théorie des ensembles)|complémentaire]] fini. Les réels de ]0, 1[ qui admettent deux développements sont par conséquent en bijection avec l'un (au choix) de ces deux ensembles de parties<ref>En effet, si ''F'' désigne l'ensemble des parties finies et ''C'' celui des parties cofinies : ces réels sont en bijection avec ''F''\{∅} et ''C''\{ℕ}, donc aussi avec ''F'' et ''C''.</ref>, donc aussi avec leur réunion<ref>Car ces deux ensembles sont dénombrables et disjoints donc on peut établir une bijection entre l'un des deux et leur réunion.</ref>. Les réels restants sont en bijection naturelle — comme précédemment — avec les parties restantes (ni finies, ni cofinies) de ℕ. On construit ainsi une bijection entre ''P''(ℕ) et ]0, 1[, qui est lui-même en bijection avec ℝ, par exemple par l'application {{nobr|''x'' ↦ [[Logarithme|log]]{{!}}log''x''{{!}}.}}
 
== Exemples d'ensembles ayant la puissance du continu ==
* Pour tout ensemble infini dénombrable ''D'', l'ensemble ''P''(''D'') des parties de ''D'' a la puissance du continu ;
* Si deux ensembles ont la puissance du continu alors leur [[produit cartésien]] aussi, puisqu'il est équipotent à ''P''(''A'')×''P''(''B'') avec ''A'' et ''B'' dénombrables, donc à ''P''(''C''), où ''C'' désigne la [[réunion disjointe]] (dénombrable) de ''A'' et ''B''.
* L'ensemble ℝ{{exp|''n''}} a donc la puissance du continu non seulement pour ''n'' = 1, mais pour tout entier ''n'' ≥ 1.
* L'[[espace euclidien]]<ref>{{Article|lang=en|url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/pubs/AMM-March11_Cantor.pdf|titre=Was Cantor Surprised?|auteur=Fernando Q. Gouvêa|revue=American Mathematical Monthly|année=2011}}</ref> ℝ{{exp|n}} : il y a autant de points sur un segment de droite, que sur une droite, autant que sur un plan et autant que dans l'espace dans son ensemble, quelle que soit sa dimension.
* Même l'ensemble ℝ{{exp|ℕ}} des suites réelles [[Ensemble dénombrable#Exemples d'ensembles infinis non dénombrables|n'a « que » la puissance du continu]].
* ''A fortiori'', l'ensemble ℕ{{exp|ℕ}} des [[Suite d'entiers|suites d'entiers naturels]] également. [[Espace de Baire (théorie des ensembles)#Relation avec la droite réelle|Un argument plus explicite]] est d'utiliser les [[fractions continues]] pour mettre cet ensemble en bijection avec les [[Nombre irrationnel|irrationnels]] compris entre 0 et 1. C'est d'ailleurs cette méthode qui permit à [[Georg Cantor|Cantor]], en 1878<ref>{{Article|lang=en|auteur=Julian F. Fleron|titre=A note on the history of the Cantor set and Cantor function|lien périodique=Mathematics Magazine|revue=Mathematics Magazine|volume=67|pages=136-140|année=1994|url=httphttps://books.google.fr/books?id=WwFMjsym9JwC&pg=PA137}}.</ref>, de démontrer que [0, 1]{{exp|''n''}} a la puissance du continu, sans passer par l'argument ci-dessus. Une variante plus directe consiste à utiliser les [[Théorème de Śleszyński-Pringsheim#Fractions « négativement régulières »|fractions « négativement régulières »]].
* Pour tout [[ensemble infini]] ''E'', il existe un ensemble, ayant la puissance du continu, de parties infinies de ''E'' dont les intersections deux à deux sont finies<ref group=note>En identifiant une partie dénombrable fixée de ''E'' à l'ensemble des suites finies de 0 et de 1 et en sélectionnant, pour chaque suite infinie de 0 et de 1, la partie de ''E'' constituée de ses segments initiaux.</ref>.
 
== Indécidabilité de la cardinalité de la puissance du continu ==
{{loupe|Hypothèse du continu}}
 
La cardinalité de ℝ est 2{{exp|ℵ₀}}. L'affirmation que c'est [[Aleph-un|ℵ<sub>1</sub>]] est appelée [[hypothèse du continu]]. Elle est démontrée indécidable dans la [[ZFC|théorie des ensembles usuelle]].
 
== Notes et références ==
=== Notes ===
{{références|groupe="note"}}
 
=== Références ===
{{Références}}
 
{{Portail |mathématiques}}
 
[[Catégorie:Théorie des ensembles]]
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