« Lemme de Zorn » : différence entre les versions
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:Un ''ensemble inductif'' est un ensemble partiellement ordonné où toute [[chaîne (ordres)|chaîne]] (partie totalement ordonnée) admet un [[majorant]].
Pour beaucoup d'applications du lemme de Zorn la définition (1,4), qui est la plus restrictive, s'utilise naturellement, même si elle donne un énoncé en apparence plus faible. C'est le cas par exemple de l'application à la comparabilité cardinale du paragraphe précédent : la réunion des éléments de la chaîne n'est pas seulement un majorant mais une borne supérieure. La notion peut aussi être utile dans d'autres contextes<ref>où la terminologie peut être différente, voir l'article [[ordre partiel complet]].</ref>. Un ensemble tel que toute chaîne admet une [[borne supérieure]] (choix (1,4)), est d'ailleurs parfois appelé également ensemble inductif<ref>Par exemple {{harvsp|Moschovakis 2006|p=75}}, ou {{harvsp|Kanamori|1997|p=302}}.</ref>, mais aussi ''ensemble strictement inductif''<ref>{{
C'est bien sûr la définition la moins restrictive qui donne le meilleur énoncé du lemme de Zorn. Même si l'énoncé habituel correspond au choix du couple (1,3) dans la définition d'[[ensemble inductif]], le couple (2,3) donne un énoncé (apparemment) plus fort, parfois bien utile.
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==== Démonstration par réunion de chaînes bien ordonnées ====
On se propose de démontrer la version du théorème de Zorn pour les chaînes bien ordonnées (version (2,3)). Cette courte démonstration est une adaptation de celle donnée en 1904 par [[Ernst Zermelo]] pour son [[théorème de Zermelo|théorème du bon ordre]]<ref>Elle est due à {{article|lang=de|prénom=Hellmuth|nom=Kneser|lien auteur=Hellmuth Kneser|titre=Eine direkte Ableitung des Zornschen Lemmas aus dem Auswahlaxiom|revue=[[Mathematische Zeitschrift|Math. Z.]]|volume=53|
:''x'' = ''g''({''y'' ∈ ''C'' | ''y'' < ''x''}).
En particulier, l'ensemble vide est une ''g''-chaîne, et si ''C'' est une ''g''-chaîne telle que ''g''(''C'') soit définie, alors ''C'' ∪ {''g''(''C'')} est encore une ''g''-chaîne. On déduit le théorème de Zorn du lemme suivant :
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On montre de la même façon qu'au paragraphe précédent pour les ''g''-chaînes, que, étant donnés deux ''f''-ensembles ''C'' et ''D'', l'un est segment initial de l'autre. On en déduit pour les mêmes raisons, que la réunion ''M'' des ''f''-ensembles est un ''f''-ensemble. En particulier ''M'' est une chaîne bien ordonnée, et ''f'' est croissante sur ''M''. L'image de ''M'' par ''f'', {''f''(''y'') | ''y'' ∈ ''M''} est alors une chaîne (bien ordonnée), donc possède une borne supérieure ''z''. Alors ''M'' ∪ {''z''} est un ''f''-ensemble donc ''z'' ∈ ''M'', donc ''f''(''z'') ≤ ''z'' donc ''f''(''z'') = ''z''.
Cette démonstration n'utilise l'existence de bornes supérieures que pour les chaînes bien ordonnées de ''E'' et donc le théorème de point fixe peut s'énoncer avec cette hypothèse seulement (plutôt que celle plus forte que ''E'' est strictement inductif)<ref>{{Article |lang=de| author=[[Ernst Witt]] |
Le lemme de Zorn version (1,4) (ou même (2,4) avec la remarque précédente) se déduit du théorème de point fixe, par exemple ainsi<ref>{{harvsp|Lang|2002|p=884}}.</ref>. On suppose que (''E'', ≤) est un ensemble strictement inductif, c'est-à-dire que toute chaîne de ''E'' possède une borne supérieure. Si (''E'', ≤)) ne possédait pas d'élément maximal. Tout élément possèderait alors un majorant strict, et on pourrait, par l'axiome du choix, définir sur ''E'' une fonction ''f'' vérifiant ''x'' < ''f''(''x'') pour tout ''x'' de ''E''. Il suffit donc de montrer qu'une telle fonction ne peut exister, ce qui résulte immédiatement du théorème de point fixe.
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Une autre démonstration du lemme de Zorn consiste en construire la chaîne bien ordonnée maximale souhaitée, comme intersection d'ensemble ayant de bonnes propriétés, à savoir stable par passage à la borne supérieure, et par une fonction « successeur » obtenue par axiome du choix. Cette démonstration ne nécessite pas de parler de bon ordre (même si la notion est sous-jacente), et convient directement pour le théorème de maximalité de Hausdorff<ref>Voir par exemple [[Walter Rudin]], ''Real and Complex Analysis'', McGraw Hill, Appendix: Hausdorff maximality theorem.</ref>. Elle convient également pour la version « faible » du lemme de Zorn pour les ensembles ''strictement inductifs'' (version (1,4) ou (2,4)).
Plutôt que de démontrer directement le lemme de Zorn, il suffit de démontrer le théorème de point fixe de la section précédente<ref>Voir {{harvsp|Lang|2002}}, que l'on va suivre, essentiellement, ou {{Article|auteur=[[Nicolas Bourbaki]]|revue={{Lien|Archiv der Mathematik}}|
On distingue ''e'' un élément de ''E'' (non vide). Pour les besoins de la preuve, on appelle ensemble admissible un sous-ensemble ''A'' de ''E'' contenant ''e'', clos par application de ''f'' et par passage à la borne supérieure pour les chaînes de ''A'', autrement dit :
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*{{ouvrage|prénom1=N.|lien auteur=Nicolas Bourbaki|nom1=Bourbaki|titre=[[Éléments de mathématique]], Théorie des ensembles|éditeur=Hermann|année=1970|année première édition=1954|passage=E.III.20, E.III.21 et fascicule de résultats E.R.29}} {{commentaire biblio SRL| une première édition du fascicule de résultats est parue en 1939, avec un énoncé du lemme de Zorn sans démonstration}}.
*{{Article|lang=en|prénom1=Paul J.|nom1=Campbell|titre=The Origin of “Zorn's Lemma”|périodique=[[Historia Mathematica]]|mois=février|année=1978|volume=5|numéro=1|pages=77-89|doi=10.1016/0315-0860(78)90136-2}}.
*{{Article|lang=en|prénom=Akihiro|nom=Kanamori|lien auteur=Akihiro Kanamori|titre=The Mathematical Import of Zermelo's Well-Ordering Theorem|revue=Bull. Symbolic Logic|vol=3|
*{{Article|auteur=[[Casimir Kuratowski]]|titre=Une méthode d'élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques|revue=[[Fundamenta Mathematicae]]|vol=3|
* {{ouvrage|lang=en|prénom=Serge|nom=Lang|lien auteur1=Serge Lang|titre=Algebra|référence=Référence:Algèbre (Lang)|éditeur=Springer|année=2002|numéro d'édition=3|isbn=0-387-95385-X |passage = appendix 2}}.
*{{ouvrage|lang=en|prénom1=Gregory H.|nom1=Moore|année=1982|titre=Zermelo's Axiom of Choice Its Origins, Development, and Influence|collection=Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences|numéro dans collection=8|éditeur=Springer|isbn=978-0-387-90670-6}} {{commentaire biblio SRL| l'histoire du lemme de Zorn et des principes de maximalité est étudiée en section 4.4}}.
*{{ouvrage|id=Moschovakis 2006|lang=en|nom1={{Lien|lang=de|Yiannis N. Moschovakis}}|année=2006|titre=Notes on set theory|numéro d'édition=2|éditeur=Springer|isbn=978-0-387-28723-2|année première édition=1993}} {{commentaire biblio SRL|une démonstration du lemme de Zorn dans le cadre de la théorie de Zermelo, qui utilise la récurrence transfinie et le [[ordinal de Hartogs|théorème de Hartogs]]}}.
*{{ouvrage|lang=en|prénom1=Herman|nom1=Rubin|prénom2=Jean E.|nom2=Rubin|année=1985|titre=Equivalents of the Axiom of Choice, II|lieu=Amsterdam|éditeur=North-Holland|titre chapitre=part I §4 : ''Maximal principles''|isbn=9780444877086|url=https://books.google.fr/books?id=LSsbBU9FesQC&pg=PA31}} {{commentaire biblio SRL|version enrichie du livre des mêmes auteurs de 1963 ''Equivalents of the Axiom of Choice''}}.
*{{Article|lang=en|auteur=[[Max Zorn]]|titre=A remark on method in transfinite algebra|revue=[[Bulletin of the American Mathematical Society|Bull. Amer. Math. Soc.]]|vol=41|
{{portail|mathématiques}}
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