« Filtre (mathématiques) » : différence entre les versions
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</ref>{{,}}<ref>{{article|auteur=Henri Cartan|titre=Filtres et ultrafiltres|périodique = C. R. Acad. Sci.|vol=205|pages=777-779|année=1937|url=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3157c/f776.image}}.</ref> et utilisée par Bourbaki<ref>{{Bourbaki-Topologie}}.</ref>.
Les filtres ont permis en particulier une démonstration élégante du [[Théorème de Tykhonov|théorème de Tychonov]]. Le cas particulier important des [[ultrafiltre]]s joue un rôle fondamental dans la construction de prolongements d'objets classiques tels que les réels (donnant naissance aux [[nombre hyperréel|hyperréels]]), ou les [[espace localement compact|espaces localement compacts]] (permettant une construction du [[compactification de Stone-Čech|compactifié de Stone-Čech]]).
== Avant propos ==
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'''Théorème :''' Un espace topologique séparé ''E'' est compact si et seulement si tout filtre de ''E'' admet un point adhérent, ou encore si et seulement si tout [[ultrafiltre]] de ''E'' converge.
Cette caractérisation qui généralise le [[théorème de Bolzano-Weierstrass]] permet de démontrer élégamment le [[Théorème de Tykhonov|théorème de Tychonov]]<ref>O. Brinon, [http://www.math.univ-paris13.fr/~brinon/enseignement/Master1-Choix.pdf Le théorème de Tychonoff].</ref>.
{{démonstration|contenu=Par définition, un espace topologique est compact s'il est séparé et quasi-compact, et un espace ''E'' est quasi-compact si de toute famille de fermés de ''E'' d'intersection vide on peut extraire une famille finie d'intersection vide. On prouve ici l'équivalence<ref>{{harvsp|Bourbaki|p=[http://books.google.fr/books?id=12yuCBbwijUC&pg=SA1-PA59 I.59]}} et {{Harvsp|Wagschal|1995|p=167-168}} prennent la caractérisation par les filtres comme ''définition'' de la compacité, mais démontrent aussitôt l'équivalence avec la propriété de Borel-Lebesgue. La preuve présentée ici est essentiellement la même.</ref> :
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