« Fonctionnelle de Minkowski » : différence entre les versions

{{Théorème|RemarqueFonction de Minkowski finie|La jaugefonction de Minkowski d'un convexe {{formule|''C''}} contenant 0 ne prend que des valeurs finies si et seulement si {{formule|''C''}} est [[Espace vectoriel topologique#Ensemble absorbant|absorbant]].|style=background-color:#ffeedd;border-color:#ff8822;}}

Il est également immédiat de vérifier que cette condition est en particulier réalisée si 0 est [[intérieur (topologie)|intérieur]] à {{formule|''C''}} ; la réciproque est vraie en dimension finie et facile à vérifier — on peut le faire assez élégamment en remarquant qu'en tant que fonction convexe à valeurs finies et définie partout, {{formule|''p''}}<math>\mu_C</math> est alors continue, et que {{<math|<nowiki>\{</nowiki>''x ''{{!}} ''p'':\mu_C(''x'') < 1<nowiki>\}</nowikimath>}} est alors un voisinage de 0 contenu dans {{formule|''C''}}.

Lorsque 0 est [[intérieur (topologie)|intérieur]] à {{formule|''C''}}, on peut se faire une image mentale simple de la jaugefonction de Minkowski via ses surfaces de niveau : l'ensemble des points où elle prend la valeur 1 est exactement la [[frontière (topologie)|frontière]] du convexe ; les surfaces de niveau pour les autres valeurs strictement positives sont les homothétiques de cette frontière ; en les éventuels points restant non couverts par la réunion de ces surfaces de niveau, la jaugefonction de Minkowski prend la valeur 0.

On peut enfin remarquer que (pour un espace vectoriel réel), si {{formule|''C''}} est symétrique par rapport à 0 avec une jaugefonction de Minkowski évitant la valeur {{math|+∞}}, la jaugefonction de Minkowski est alors une [[semi-norme]] ; il en est de même pour un espace vectoriel complexe si on exige une version améliorée de la symétrie, à savoir l'invariance sous multiplication par n'importe quel complexe de module 1.

=== JaugesFonction de Minkowski ne prenant pas la valeur 0 hors de l'origine ===

Il est clair au vu de la définition que la jaugefonction de Minkowski prend la valeur 0 en un point {{formule|''x''₀}} autre que l'origine si et seulement si toute la demi-droite issue de l'origine et passant par {{formule|''x''₀}} est incluse dans le convexe.

Il est dès lors immédiat que (dans un [[espace vectoriel normé]]) la jaugefonction de Minkowski d'un convexe borné ne prend pas la valeur 0 hors de l'origine.

{{Théorème|PropositionEnsemble borné|Soit {{formule|''C''}} un convexe fermé contenant 0 dans un espace de dimension finie. Alors {{formule|''C''}} est borné si et seulement si sa jaugefonction de Minkowski ne prend pas la valeur 0 hors de l'origine.|style=background-color:#ffeedd;border-color:#ff8822;}}

* Dans la théorie des [[espace vectoriel topologique|espaces vectoriels topologiques]], c'est par l'introduction d'une collection appropriée de jaugesfonctions de Minkowski qu'on peut caractériser les [[espace localement convexe|espaces localement convexes]] en termes de [[semi-norme]]s.

* En géométrie des [[ensemble convexe|convexes]], la jaugefonction de Minkowski est un outil intéressant pour ramener un problème purement géométrique (recherche d'un [[hyperplan affine|hyperplan]]) à un problème analytique (recherche d'une équation de l'hyperplan). Ainsi dans la preuve de la « forme géométrique » du [[théorème de Hahn-Banach]] — fondement de toute la théorie de la [[séparation des convexes]] et des [[hyperplan d'appui|hyperplans d'appui]] —, un pas essentiel est la constatation qu'exiger de l'hyperplan d'équation {{formule|''f''(''x'') {{=}} 1}} qu'il évite un convexe donné <math>C</math> (ouvert et contenant 0), c'est la même chose que de demander à {{formule|''f''}} de vérifier l'inéquation {{<math|''p>\mu_C\leqslant ''≤ ''f''}}, {{formule|''p''}} désignant la jauge du convexe</math>.