« Fonctionnelle de Minkowski » : différence entre les versions
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→Introduction : pas grand-chose de mieux |
→Définition : très peu de choses |
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== Définition ==
Soient <math>\mathbb{E}</math> un [[espace vectoriel]] sur <math>\R</math>, que l'on supposera [[espace vectoriel topologique|topologique]] chaque fois que nécessaire, et <math>P</math> une partie de <math>\mathbb{E}</math>. On appelle '''fonction de [[Hermann Minkowski|Minkowski]]''' de <math>P</math>, la fonction <math>\mu_P</math> de <math>\mathbb{E}</math> dans <math>\R\cup\{+\infty\}</math> définie en <math>x\in
<center><math>
\mu_P(x)=
\inf\, \{t >0
</math></center>
Dans cette définition, <math>t\,P</math> est l'ensemble des éléments de la forme <math>t\,x</math> avec <math>x\in P</math>. Puisque [[Borne supérieure et borne inférieure#Exemples|{{math|inf(∅) {{=}} +∞}}]], <math>\mu_P(x)=+\infty</math> s'il n'existe pas de <math>t>0</math> tel que <math>x\in t\,P</math>. Dès lors
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:Si <math>E=\R</math> et <math>P=\{1\}</math> alors pour tout <math>x>0</math>, <math>\mu_P(x)=x</math> et pour tout <math>x\leqslant0</math>, <math>\mu_P(x)=+\infty</math>.
{{Théorème|Propriétés immédiates|Soit <math>P</math> une partie de <math>\mathbb{E}</math>.
# <math>P\subset\{x
# <math>\mu_P</math> est positive.
# <math>\mu_P</math> est [[Fonction homogène|positivement homogène de degré
# <math>\forall\alpha>0\quad\alpha\mu_P=\mu_{\frac1{\alpha}P}</math>.|style=background-color:#ffeedd;border-color:#ff8822;}}
Si <math>P</math> n'est pas convexe ou ne contient pas zéro, on n'a pas nécessairement <math>\{x:\mu_P(x)<1\}\subset P</math>. Voici un contre-exemple : si <math>\mathbb{E}=\R</math>, <math>P=\{1\}</math> et <math>x=1/2</math>, alors <math>\mu_P(x)=1/2</math> mais <math>x\notin P</math>.
On déduit de la propriété 3 ci-dessus que pour <math>\alpha>0</math>, on a
<center><math>
\{x
</math></center>
ce qui justifie la définition imprécise donnée dans l'introduction : les [[ensemble de sous-niveau|ensembles de sous-niveaux]] de <math>\mu_P</math> sont [[Homothétie|homothétiques]].
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