« Axiomes de Peano » : différence entre les versions
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m →Arithmétique de Peano : Bien que débutant en logique, j'ai supprimé une phrase qui me semble rigoureusement inacceptable, comment pouvez-vous justifier un raisonnement par récurrence si vous autorisez des entiers naturels différent de 0 à ne pas avoir de prédécesseur? (et donc d'être "insensible à la contagion"). Je pense au contraire que cet axiome est justement là pour démontrer formellement le principe de récurrence qui devient vite nécessaire pour démontrer des résultats "intéressants". |
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Ligne 46 :
Cependant, le schéma d'axiomes ne donne plus cette propriété que pour les sous-ensembles de '''N''' qui se définissent dans le langage de l'arithmétique du premier ordre : une infinité dénombrable de sous-ensembles de '''N'''.
On{{Qui?|date=9 janvier 2018}} peut montrer que l'arithmétique de Peano ne peut être finiment axiomatisée{{Référence nécessaire|date=9 janvier 2018}}, à moins de modifier le langage{{C'est-à-dire||date=09 01 2018}}. Cela n'a donc pas forcément grand sens de chercher à minimiser les axiomes
Il est également à noter que du remplacement dans la signature du symbole de fonction s par un symbole de constante, par exemple (nullement au hasard) 1, résulte une théorie tout à fait équivalente grâce à la présence de l'addition, via le traducteur définissant les notations suivantes: <math>1:=s0</math> dans un sens et <math>\forall x,sx:=x+1</math> dans l'autre (ce sera détaillé plus bas).
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