« Repère de Frenet » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Voir les versions wiki anglaise, allemande, italienne, ... ou lire des livres sur le sujet |
|||
Ligne 26 :
[[Fichier:FrenetTN.svg|vignette|Repère de Frenet en deux points de la courbe. Le vecteur '''δT''' indique l'évolution du vecteur tangent.]]
Comme pour tout vecteur, le vecteur dérivé de <math>\overrightarrow T</math> est orthogonal à <math>\overrightarrow T</math>.
: <math>\overrightarrow T\cdot\frac{\mathrm{d}\overrightarrow T}{\mathrm{d}s}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}\left(\overrightarrow T\cdot\overrightarrow T\,\right)}{\mathrm{d}s}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}1}{\mathrm{d}s}=0\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow T\perp\frac{\mathrm{d}\overrightarrow T}{\mathrm{d}s}</math>
Il existe donc en tout point de paramètre <math>s</math> un coefficient <math>\gamma(s)</math> tel que
:<math>\frac{\mathrm{d}\overrightarrow T}{\mathrm{d}s}(s)=\gamma(s)\overrightarrow N(s)</math>
c'est à dire, avec la relation du paragraphe précédent :
:<math>\gamma(s)=\left\|\frac{d\overrightarrow T}{ds}\right\|</math>
On donne à <math>\gamma(s)</math> le nom de courbure (algébrique) de la courbe, elle est positive (nulle pour une droite) et homogène à l'inverse d'une longueur. Son inverse est utilisé en cinématique et porte le nom de rayon de courbure algébrique <math>R</math>.
| |||