« Géométrie hyperbolique » : différence entre les versions
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Le [[Livre I des Éléments d'Euclide#Les demandes|cinquième postulat d'Euclide]] (appelé actuellement « [[axiome des parallèles]] »{{Note|texte=Euclide énonce le cinquième postulat sous une forme particulièrement opaque ; dès l'Antiquité, plusieurs versions en ont été démontrées équivalentes (en admettant les autres postulats). La forme actuelle de l'axiome des parallèles (« par un point pris hors d'une droite, il passe une droite et une seule ne la rencontrant pas. ») est due à [[Proclus]], au {{S-|5}}<ref>{{Ouvrage |langue= |auteur1=[[Proclus|Proclus de Lycie]] |titre=Les commentaires sur le premier livre des Éléments d'Euclide |traducteur=P. Ver Eecke |lieu= Bruges|éditeur= |collection= |année= 1959|volume= |tome= |pages totales= |passage= |isbn= |lire en ligne= }}.</ref>.|groupe=note}}) semble avoir toujours eu un statut bien moins « naturel » que celui des quatre autres, et avoir plutôt été ressenti comme un [[Conjecture|théorème dont la démonstration n'avait pas encore été obtenue]]<ref>{{article|langue=en|titre=History of the Parallel Postulate|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=27|numéro=1|pages=16–23|date=janvier 1920|auteur=Florence P. Lewis|doi=10.2307/2973238|jstor=2973238}}.</ref>. Des tentatives de démonstration apparaissent dès l'Antiquité{{note|groupe=note|texte=On recense ainsi des reformulations du postulat et des essais de preuves par [[Archimède]] et [[Claude Ptolémée|Ptolémée]], puis par [[Alhazen]] et [[Omar Khayyam]]<ref>{{chapitre|prénom1=Boris A.|nom1=Rosenfeld|prénom2=Adolf P.|nom2=Youshkevitch|lien auteur2=Adolf P. Youschkevitch|titre chapitre=Géométrie|titre ouvrage=[[Histoire des sciences arabes]]|sous-titre ouvrage=mathématiques et physique|tome=2|éditeur=Seuil|année=1997|passage=186 et suivantes }}.</ref>.}}, et de nombreuses « preuves » erronées en existent. La piste la plus prometteuse pour le prouver semble être de [[Raisonnement par l'absurde|raisonner par l'absurde]], et plusieurs mathématiciens ont cru avoir réussi, obtenant en niant le postulat des résultats qui leur paraissaient en effet contredire le bon sens{{Note|texte=|nom=étrange|groupe=note}}, tels que le fait que deux droites perpendiculaires à une même droite s'éloigneraient l'une de l'autre dans les deux directions. Cependant, les échecs de ces tentatives allaient progressivement amener à l’idée que d’autres géométries étaient possibles, et à la découverte des [[Géométrie non euclidienne|géométries non euclidiennes]].
L'histoire de la géométrie hyperbolique proprement dite semble cependant ne commencer qu'au début du {{s-|XVIII}} avec les travaux du mathématicien italien [[Giovanni Girolamo Saccheri]]<ref name="Penrose">[[Roger Penrose]], ''À la découverte des lois de l'univers'', Odile Jacob, 2007, chap 2.4.</ref>, qui cherche à démontrer dans l'œuvre de sa vie, ''{{lang|la|Euclides ab omni naevo vindicatus}}'' (''Euclide lavé de toute tache''), que les postulats d'Euclide sont cohérents et nécessaires pour définir la géométrie. Supposant notamment faux le cinquième postulat, il tente de développer toutes les conséquences de cette hypothèse, jusqu'à obtenir une contradiction. Il échoue dans cette tentative, obtenant une grande quantité de théorèmes étranges{{Note|texte=[[Giovanni Girolamo Saccheri|Saccheri]] déclare à leur sujet : « L'hypothèse de l'aigu est absolument fausse, car ces résultats répugnent à la nature de la ligne droite. ».|groupe=note|nom=étrange}}, mais ne présentant entre eux aucune incohérence. Ne réalisant pas qu'il a sous les yeux une nouvelle géométrie, il conclut son ouvrage par l’aveu d’un demi-échec{{Note|texte=Il explique qu'il lui resterait à montrer rigoureusement que l'existence de ce que nous appelons des [[hypercycle]]s est absurde, mais qu'il n'y est pas parvenu<ref>{{MacTutor|title=Giovanni Girolamo Saccheri|id=Saccheri}}
Au milieu du {{s-|XVIII}}, [[Jean-Henri Lambert]] étudie lui aussi les conséquences de la négation du postulat, et obtient sous cette hypothèse des théorèmes et des résultats précis (considérés désormais comme appartenant à la géométrie hyperbolique), comme la formule donnant la somme des angles d'un triangle en fonction de sa surface : {{math|''C''Δ {{=}} π - (α + β + γ)}}, où {{math|α, β, γ}} sont les angles des trois sommets du triangle, {{mvar|C}} un coefficient de proportionnalité, et {{math|Δ}} la surface du triangle. Vers la fin de sa vie, il semble qu'il ait réalisé que ces théorèmes manifestent l'existence d'une authentique géométrie {{Citation|sur une sphère de rayon imaginaire}}<ref name="Penrose" />.
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