« Différentielle » : différence entre les versions
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m Non, l convention usuelle représentant h par un vecteur colonne, la matrice a n lignes.Annulation de la modification de Orodoth (d) Balises : Annulation Révoqué |
m Désolé, j’ai écrit n’importe quoi. Cf page de discussion.Annulation de la modification de Dfeldmann (d) Balise : Annulation |
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Ligne 90 :
:<math>\mathrm d\vec{f}(a)(\vec{h})=\frac{\partial\vec{f}}{\partial x_1} (a)h_1+\dots +\frac{\partial\vec{f}}{\partial x_n} (a)h_n.</math>
Pour effectuer ce calcul il est judicieux d'introduire des représentations matricielles pour le vecteur <math>\vec h</math> et l'application linéaire <math>\mathrm d\vec{f}(a)</math> : c'est ce que l'on appelle la [[matrice jacobienne]] de l'application. C'est une matrice de dimension {{math|(''
La différentiabilité de la fonction assure l'existence de dérivées partielles ; la réciproque est fausse : l'existence de dérivées partielles n'assure pas la différentiabilité de la fonction, ni même sa continuité.
Ligne 98 :
Si l'application {{math|''f''}} est linéaire, alors elle est différentiable en tout point {{math|''a''}} et {{math|1=d''f''(''a'') = ''f''}}. Ceci s'applique en particulier à chaque fonction coordonnée {{math|ℝ{{exp|''n''}} → ℝ, ''x'' ↦ ''x{{ind|k}}''}} — dont la dérivée en tout point {{math|''a''}}, {{math|d''x{{ind|k}}''(''a'') : ''h'' ↦ ''h{{ind|k}}''}}, est simplement notée {{math|d''x{{ind|k}}''}} — et justifie la réécriture suivante de la différentielle de <math>\vec f</math> en {{math|''a''}} :
:<math>\mathrm d\vec{f}(a)=\frac{\partial\vec{f}}{\partial x_1}(a){\rm d}x_1+\dots +\frac{\partial\vec{f}}{\partial x_n}(a){\rm d}x_n.</math>
===Applications au calcul infinitésimal===
En calcul infinitésimal, l'habitude est de noter <math>\mathrm df</math> des variations infinitésimales d'une fonction <math>f</math>. Ainsi, soient <math>f</math>, une fonction de <math>\vec x = ( x_1,\dots, x_n )</math> et <math>\mathrm d\vec x = (\mathrm dx_1,\dots,\mathrm dx_n )</math> où les <math>\mathrm dx_i</math> sont les composantes d'une variation [[asymptote|infinitésimale]] de <math>\vec x</math>, alors la différentielle de <math>f</math> au point <math>\vec x</math> définit les variations infinitésimales de <math>f</math> correspondant aux variations infinitésimales de <math>\vec x</math>, et s'écrit :
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