« Adhérence (mathématiques) » : différence entre les versions
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# <math>\overline{A}= \{ x \in X \, \mid \, \forall V \in \mathcal{V}(x), \, V \cap A \neq \O \} </math>
# <math> \overline{A}</math> est le plus petit fermé contenant <math>A</math> i.e. <math>\overline{A}= \bigcap_{F \in \mathcal{F} }F</math>
où <math> \mathcal{V}(x)</math> est l'ensemble des [[Voisinage (mathématiques)|voisinages]] de <math>x</math> et <math>\mathcal{F}= \{ F \subset X \, \mid \, A \subset F, \, F \text{ fermé} \}</math>|nom=Définition}}{{Démonstration|On part de la première définition, on rappelle au préalable
{{Démonstration|{{Bloc On suppose <math>U</math> ouvert, alors <math>\forall x \in U</math>, on a <math>x \in U \subset U</math> (définition d'un voisinage), donc <math>U \in \mathcal{V}(x)</math> i.e. <math>U</math> est voisinage de chacun de ses points. Réciproquement on suppose que <math>\forall x \in U, \, U \in \mathcal{V}(x)</math> i.e. il existe un ouvert <math>U_{x}</math> tel que <math>x \in U_{x} \subset U</math>. On a alors <math>U = \bigcup_{x \in U} \{ x \} \subset \bigcup_{x \in U} U_{x} \subset U</math>. On a donc <math>U = \bigcup_{x \in U} U_{x}</math> qui est ouvert comme réunion d'ouverts. |déroulante=oui|titre=Lemme}}
Montrons que <math>\overline{A}</math> contient <math>A</math>. Soit <math>x \in A</math>, on a <math>\forall V \in \mathcal{V}(x), \, x \in A \cap V \neq \O</math>, donc <math>x \in \overline{A}</math> et ainsi <math>A \subset \overline{A}</math>.
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== Propriétés ==
{{Théorème|énoncé=<math>\overline{A} \cup \overline{B}= \overline{A \cup B}</math> et <math>\stackrel{\ \circ}{A} \cap \stackrel{\ \circ}{B} = \overbrace{A \cap B}^{\circ}</math> et <math>\overline{A^{c} }=(\stackrel{\ \circ}{A})^{c}</math>
Si <math>A \subset B</math>, alors <math>\overline{A} \subset \overline{B}</math>
Puisque <math>\stackrel{\ \circ}{A} \subset A</math>, on a <math>\stackrel{\ \circ}{A} \subset B</math>. Donc <math>\stackrel{\ \circ}{A}</math> est un ouvert inclus dans <math>B</math>, comme <math>\stackrel{\ \circ}{B}</math> est le plus grand ouvert inclus dans <math>B</math>, on a nécessairement <math>\stackrel{\ \circ}{A} \subset \stackrel{\ \circ}{B}</math>.
Soit <math>x \in (\stackrel{\ \circ}{A})^{c}</math>, on a par définition <math>A \not \in \mathcal{V}(x)</math>, donc <math>\forall V \in \mathcal{V}(x), \, V \not \subset A</math> (car <math>V \in \mathcal{V}(x)</math> et <math>V \subset W</math> impliquent <math>W \in \mathcal{V}(x)</math>) i.e. il existe <math>y \in V</math> tel que <math>y \not \in A</math> i.e. <math>y \in A^{c}</math> d'où <math>V \cap A^{c} \neq \O</math> ce qui signifie par définition que <math>x \in \overline{A^{c} }</math>
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On a <math>A \subset A \cup B \subset \overline{A \cup B}</math>. Puisque <math>\overline{A}</math> est le plus petit fermé contenant <math>A</math>, on a alors <math>\overline{A} \subset \overline{A \cup B}</math>. De même avec <math>B</math>, ainsi on a <math>\overline{A} \cup \overline{B} \subset \overline{A \cup B}</math>.
On a <math>A \cap B \subset A</math> puis <math>\overbrace{A \cap B}^{\circ} \subset \stackrel{\ \circ}{A}</math>. De même avec <math>B</math>, ainsi <math>\overbrace{A \cap B}^{\circ} \subset \stackrel{\ \circ}{A}</math> et <math>\overbrace{A \cap B}^{\circ} \subset \stackrel{\ \circ}{B}</math> i.e. <math>\overbrace{A \cap B}^{\circ} \subset \stackrel{\ \circ}{A} \cap \stackrel{\ \circ}{B}</math>
On a <math>\stackrel{\ \circ}{A} \cap \stackrel{\ \circ}{B} \subset A \cap B</math>. Or <math>\stackrel{\ \circ}{A} \cap \stackrel{\ \circ}{B}</math> est un ouvert, comme intersection finie d'ouverts, inclus dans <math>A \cap B</math>, puisque <math>\overbrace{A \cap B}^{\circ}</math> est le plus grand ouvert inclus dans <math>A \cap B</math>, on a ainsi <math>\stackrel{\ \circ}{A} \cap \stackrel{\ \circ}{B} \subset \overbrace{A \cap B}^{\circ}</math>.|déroulante=oui}}
L'adhérence est un [[Clôture (mathématiques)#Opérateur de clôture|opérateur de clôture]] :{{Retrait|<math>X\subset\overline X,\quad\overline{\overline X}=\overline X\quad{\rm et}\quad\left(X\subset Y\implies\overline X\subset\overline Y\right).</math>}}
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