« Gradient » : différence entre les versions

Soit {{formule|''E''}} un [[espace vectoriel]] euclidien et soit {{formule|''U''}} un [[Ouvert (topologie)|ouvert]] de {{formule|''E''}}. Soit <math>f : U\to\R</math> une [[fonctionFonction (mathématiques)|fonction]] différentiable. Soit {{formule|''a''}} un élément de {{formule|''U''}}. On note alors <math>\mathcal{D}_a f</math> la [[différentielle]] en {{formule|''a''}}, qui est une [[forme linéaire]] sur {{formule|''E''}}. On note <math>(\mathcal{D}_a f,u)</math> l'image par cette différentielle d'un vecteur {{formule|''u''}} de {{formule|''E''}}.

Il existe un unique vecteur {{formule|''A''}} tel que pour tout vecteur {{formule|''u''}} de {{formule|''E''}}, <math>(\mathcal{D}_a f,u) = \langle A \mid u \rangle</math>, où l'on a noté <math>\langle \cdot \mid \cdot \rangle\,\!</math> désigne le [[produit scalaire]] danssur {{formule|''E''}}.

: <math>\forall u \in E, \langle \nabla_a f \mid u \rangle = ( \mathcal{D}_a f, u ) .</math>

Puisque le gradient est lui-même un vecteur de {{formule|''E''}}, il est naturel qu'on cherche à l'exprimer dans une base orthonormée <math>(\mathbf{e}_1,\; ...,\; \mathbf{e}_n)</math> de cet espace vectoriel. On démontre qu'il s'exprime à l'aide des dérivées partielles sous la forme :

: <math>\nabla_a f = \sum_{i=1}^n \left[ \frac{\partial f}{\partial x_i}\left (a\right) \ \mathbf{e}_i \right].</math>.

: <math>\nabla_a f = \frac{\partial f}{\partial x_1}(a) \ \mathbf{e}_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(a) \ \mathbf{e}_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}(a) \ \mathbf{e}_3.</math>.

Il ne faut pas confondre '''changement de base''' pour l'expression d'une fonction écrite en notations cartésiennes (canoniques) et '''écriture du gradient adaptée''' à une notation autre. Par exemple, pour une fonction exprimée en [[coordonnées polaires]], on calcule l'écriture « polaire » du gradient en partant d'une fonction {{formule|''f''(''r'',''θ'')}} explicitée en fonction de l'abscisse polaire ({{formule|§=''r''}}) et de l'argument ({{formule|θ}}) {{formule|§=''fθ''(r,θ)}}).

* En [[coordonnées cylindriques]] (pour les coordonnées polaires, ne considérez pas considérer la composante en {{formule|''z''}}) :

: <math>\nabla f

+ \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_{z},

: qu'on peut aussi noter :

: <math>\nabla f

+ \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{e}_{z},

</math>,

: tout dépend des notations utilisées. Se référer au paragraphe suivant :

* En [[coordonnées sphériques]] :

: <math>\nabla f

+ \frac{1}{r \sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \phi}\mathbf{e}_{\phi} ;

les vecteurs de type <math>\mathbf{e}_r</math> sont des vecteurs propresutilisés auxen coordonnées polaires.

Soient <math>(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)</math> un espace de Hilbert (de dimension finie ou non), {{formule|''U''}} un ouvert de {{formule|''H''}} et {{formule|''f''}} une application de {{formule|''U''}} dans ℝ, différentiable en un point {{formule|''a''}} de {{formule|''U''}}. La différentielle <math>\mathcal{D}_a f</math> étant, par définition, une forme linéaire continue sur {{formule|''H''}}, il résulte alors du [[théorèmeThéorème de représentation de Riesz (Fréchet-Riesz)|théorème de représentation de Riesz]] qu'il existe un (unique) vecteur de {{formule|''H''}}, noté <math>\nabla f(a)</math>, tel que :

Le vecteur <math>\nabla f(a)</math> est appelé le ''gradient de {{formule|''f''}} en {{formule|''a}}''}}.

On montre que si <math>\nabla f(a) \ne0ne 0</math>, alors <math>f</math> croît strictement dans la direction <math>\nabla f(a)</math>, c'est-à-dire{{cad}} que pour tout <math>t > 0</math> suffisamment petit, <math> f \big( a + t \ \nabla f(a) \big) > f(a).</math>.

On peut encore étendre cette définition à une fonction différentiable définie sur une [[variété riemannienne]] {{formule|(''M'',''g'')}}. Le gradient de {{formule|''f''}} en {{formule|''a''}} est alors un vecteur tangent à la variété en {{formule|''a''}}, défini par :

: <math>\forall h \in \mathrm T_a \mathrm M \qquad \mathrm df (a) \left \! ( h \right ) = g \left ( \nabla f \big| h \right ).</math>.

Enfin, si {{formule|''f''}} est un [[champ scalaire]] indépendant du système de coordonnées, c'est un [[tenseur]] d'ordre 0, et sa dérivée partielle est égale à sa [[dérivée covariante]] :
: <math>(\nabla f)_i = \partial_i f = f_{,i} = f_{;i} \ .</math>. En coordonnées contravariantes, on calcule le champ de vecteurs appelé gradient de {{formule|''f''}} :

Si une application <math>f : \R^{n (= 1 ?)} \to \R</math> admet un gradient en un point {{math|''a''}}, alors on peut écrire celes développementdéveloppements limitélimités du premier ordre :

: <math>f(xa+h) = f(xa) + \langle \nabla f(xa) \mid h \rangle + o(h) \quad \text{et} ou }\quad f(xa-h) = f(xa) - \langle \nabla f(xa) \mid h \rangle + o(h).</math>

Soient une application <math>f : \R^3 \to \R</math> continûment différentiable, et une surface définie par l'équation {{formule|''f''(''u'') {{=}} ''k''}}, où {{formule|''k''}} est une constante. En un point {{formule|''v''}} donné de cette surface, si le gradient existe et s'il n'est pas nul, alors il donne la direction de la normale en {{formule|''v''}} à la surface ; le plan tangent en {{formule|''v''}} à la surface est alors orthogonal au gradient.

Soient <math>n \in \N^*</math> (par exemple, <math>{{formule|''n'' \in \{{=}} 2,}} 3ou \{{formule|''n'' {{=}} 3}}</math>), et une application <math>f : \R^n \to \R</math> continûment différentiable. Si l'application <math>\mathbf{\nabla} f : \R^n \to \R^n</math> est [[Fonction monotone|monotone]] (resp. strictement monotone), alors {{formule|''f''}} est [[Fonction convexe|convexe]] (resp. strictement convexe). C.-à-d., en utilisant la caractérisation par les cordes :