« Analyse fractionnaire » : différence entre les versions
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L' '''analyse fractionnaire''' est une branche de l'[[analyse (mathématiques)|analyse]] qui étudie la possibilité qu'un [[opérateur différentiel]] puisse être élevé à un ordre non entier.
On peut définir par le même procédé des intégrations fractionnaires. Ces [[dérivée]]s ou [[intégration]]s fractionnaires rentrent dans le cadre plus général des [[opérateur pseudo-différentiel| opérateurs pseudo-différentiels]].
Les dérivées fractionnaires sont utilisées par exemple dans certains domaines de la
[[physique]] faisant intervenir des phénomènes de diffusion comme l'[[électromagnétisme]], l'[[acoustique]] ou la [[thermique]], en définissant des [[opérateur pseudo-différentiel|opérateurs pseudo-différentiels]] diffusifs, avec conditions de bord à « géométrie [[fractale]] ».
Par exemple, on peut se demander comment interpréter convenablement
<center><math>\sqrt{\mathrm D} = \mathrm D^{1/2}</math></center>
comme la [[racine carrée]] de l'opérateur de dérivation (un opérateur à moitié itéré), c'est-à-dire une expression d'un certain opérateur qui, lorsqu'elle est appliquée deux fois à une fonction aura le même effet que la [[dérivation]]. Plus généralement, on peut examiner le problème de définir
<center><math>\mathrm D^\alpha~</math></center>
pour des valeurs réelles de <math>\alpha</math>, de telle sorte que lorsque <math>\alpha</math> prend une valeur [[entière]] <math>n</math>, on récupère la dérivation <math>n</math>-ième usuelle pour <math>n > 0</math> ou l'intégration itérée <math>-n</math> fois pour <math>n < 0</math>. Notons que le terme « fractionnaire » est utilisé de façon impropre : <math>\alpha</math> n'est pas nécessairement un [[nombre rationnel]]. Cependant, le terme « analyse fractionnaire » est devenu traditionnel.
== Dérivée fractionnaire ==
En ce qui concerne l'existence d'une telle théorie, les fondations de ce sujet ont été jetées par [[Liouville]] dans un article de [[1832]]. La dérivée fractionnaire d'une fonction en un point <math>a</math> est désormais souvent définie à partir de la [[transformée de Fourier]] ou de la [[transformée de Laplace]].
Un point important est que la dérivée fractionnaire d'une fonction en un point <math>a</math> est une propriété ''locale'' seulement lorsque <math>a</math> est entier ; dans les autres cas, on ne peut plus dire que la dérivée fractionnaire d'une fonction <math>f</math> en <math>a</math> ne dépend que du voisinage de <math>f</math> très près de <math>a</math>, comme c'est le cas en ce qui concerne les ordres des dérivations entiers.
Pour illustrer ceci, introduisons l'opérateur <math>T : f(x) \mapsto f(x - h)</math> et l'opérateur [[application identité|identité]] <math>\rm Id</math>. La [[limite]], lorsque <math>h</math> tend vers 0, de l'opérateur
correspond bien à l'opérateur de dérivation au premier ordre.
Grâce à la formule du [[binôme généralisé]], on peut alors élever cet opérateur à une puissance non entière. On obtient ainsi une série infinie :
<center><math>\Delta^\alpha = \frac{(T - \mathrm{Id})^\alpha}{h^\alpha} = \frac1{h^\alpha}\left[ \mathrm{Id} + \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-k+1)}{k!} T^k \right]</math></center>
Ce résultat met bien en évidence le caractère ''non local'' de l'opération de dérivation à un ordre non entier.
== Approche naturelle ==
Une question naturelle qui se pose est : existe-t-il un opérateur <math>H</math> tel que
<center><math>H^2 f(x) = \mathrm D f(x) = \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} f(x) = f'(x)</math> ?</center>
Il apparaît qu'il existe un tel opérateur, et en effet pour tout <math>\alpha>0</math>, il existe un opérateur <math>P</math> tel que :
<center><math>(P^\alpha f)(x) = f'(x) ~</math>,</center>
ou, pour le formuler autrement, que <math>\tfrac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n}</math> est bien défini pour toutes valeurs réelles <math>n>0</math>.
Un résultat similaire s'applique pour l'intégration. Considérant une fonction <math>f(x)</math> qui est bien définie pour <math>x > 0</math>, nous pouvons former son intégrale définie de 0 à <math>x</math> :
<center><math>( I f ) ( x ) = \int_0^x f(t) \; \mathrm dt .</math></center>
En répétant ce processus, on obtient
<center><math>( I^2 f ) ( x ) = \int_0^x ( I f ) ( t ) \; \mathrm dt = \int_0^x \left( \int_0^t f(u) \; \mathrm du \right) \mathrm dt</math>,</center>
et ceci peut être répété arbitrairement.
La formule suivante, appelée ''formule de Cauchy'',
<center><math>(I^n f) ( x ) = \frac{ 1 }{ (n-1) ! } \int_0^x (x-t)^{n-1} f(t) \; \mathrm dt</math></center>
exprime par une seule intégrale la primitive <math>n</math><sup>ème</sup> d'une fonction <math>f</math>. Ceci mène tout droit à une généralisation pour tout réel <math>\alpha</math>.
La [[fonction gamma]] <math>\Gamma</math>, qui étend la [[factorielle]] aux valeurs réelles, est définie de telle sorte que :
<center><math>n! = \Gamma(n+1) \,</math>.</center>
En utilisant la fonction gamma pour se libérer de la nature discrète de la factorielle, nous obtenons un candidat naturel pour les applications fractionnaires de l'opérateur d'intégration :
{{bloc emphase|<math>(I^\alpha f) ( x ) = \frac{ 1 }{ \Gamma ( \alpha ) } \int_0^x (x-t)^{\alpha-1} f(t) \; \mathrm dt</math>}}
On peut montrer que l'opérateur <math>I</math> est [[commutatif]] et [[additif]] :
<center><math>(I^\alpha) (I^\beta) f = (I^\beta) (I^\alpha) f = (I^{\alpha+\beta} ) f = \frac{ 1 }{ \Gamma ( \alpha + \beta) } \int_0^x (x-t)^{\alpha+\beta-1} f(t) \; \mathrm dt</math></center>
Malheureusement, le processus analogue pour l'opérateur de dérivation <math>\mathrm D</math> est considérablement plus compliqué. En général, <math>\mathrm D</math> n'est ni commutatif, ni additif.
== Exemple : « demi-dérivée » d'une fonction simple ==
Considérons <math>f(x)</math>, un monôme de la forme
<center><math>f(x) = x^k~</math>.</center>
La dérivée première est communément
<center><math> f'(x) = \frac{\mathrm d }{ \mathrm dx } f(x) = k x^{k-1}</math>.</center>
Ceci mène, après <math>a</math> répétitions, au résultat plus général
<center><math> \frac{\mathrm d^a }{ \mathrm dx^a } x^k = \frac{ k! }{ (k - a) ! } x^{k-a}</math> ;</center>
lequel, après substitution des factorielles par la fonction gamma, donne :
<center><math> \frac{\mathrm d^a }{ \mathrm dx^a } x^k = \frac{ \Gamma(k+1) }{ \Gamma(k - a + 1) } x^{k-a}</math>.</center>
Ainsi, la « demi-dérivée » de <math>f(x) = x</math> est :
<center><math>
\frac{ \mathrm d^\frac12 }{ \mathrm dx^\frac12 } x =
\frac{ \Gamma(1 + 1) }{ \Gamma ( 1 - \frac12 + 1 ) } x^{1-\frac12} =
\frac{ \Gamma( 2 ) }{ \Gamma ( \frac32 ) } x^\frac12 =
{2 \pi^{-\frac12}} x^\frac12 =
\frac{2\,x^\frac12}{\sqrt{\pi}} = \sqrt{\frac{4x}{\pi}}</math>.</center>
Une seconde application donne :
<center><math> \frac{ \mathrm d^\frac12 }{ \mathrm dx^\frac12 } {2 \pi^{-\frac12}} x^\frac12 = {2 \pi^{-\frac12}} \frac{ \Gamma ( 1 + \frac12 ) }{ \Gamma ( \frac12 - \frac12 + 1 ) } x^{\frac12 - \frac12} = {2 \pi^{-\frac12}} \frac{ \Gamma( \frac32 ) }{ \Gamma ( 1 ) } x^0 = \frac1{ \Gamma (1) } = 1</math>,</center>
ce qui est bien le résultat attendu de :
<center><math> \left( \frac{\mathrm d^{1/2}}{\mathrm dx^{1/2}} \frac{\mathrm d^{1/2}}{\mathrm dx^{1/2}} \right) x = \frac{ \mathrm d }{ \mathrm dx } x = 1 \,</math></center>
== Résultats élémentaires ==
On peut ainsi arriver à quelques formules de base, permettant d'évaluer des dérivées « fractionnaires » dans quelques cas simples :
*<math>\mathrm{\mathrm D}^{q}(x^n)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+1-q)}x^{n-q}</math>
*<math>\mathrm{\mathrm D}^{q}\bigl(\sin(x)\bigr)=\sin \left( x+\frac{q\pi}{2} \right) </math>
*<math>\mathrm{\mathrm D}^{q}(e^{ax})=a^{q}e^{ax}~</math>
== Voir aussi ==
=== Liens internes ===
* [[Opérateur pseudo-différentiel]]
* [[Opérateur différentiel]]
* [[Opérateur intégral]]
=== Liens externes ===
* [http://s.dugowson.free.fr/recherche/dones/ Stéphane Dugowson, Les différentielles métaphysiques (histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation), Thèse, Université Paris Nord (1994)]
* [http://www.laas.fr/gt-opd/ Opérateurs Pseudo-Différentiels et Représentation Diffusive en Modélisation, Contrôle et Signal]
* [http://mathworld.wolfram.com/FractionalCalculus.html Fractional calculus] sur MathWorld
* [http://mathworld.wolfram.com/FractionalDerivative.html Fractional derivative] sur MathWorld
* [http://www.diogenes.bg/fcaa/ Fractional Calculus and Applied Analysis] : journal de l'Institut de mathématiques de l'Académie bulgare des sciences ;
* [http://www.nasatech.com/Briefs/Oct02/LEW17139.html Initialized Fractional Calculus]
* [http://unr.edu/homepage/mcubed/FRG.html Fractional Calculus Project]
* [http://www.tuke.sk/podlubny/fc_resources.html Ressources sur l'analyse fractionnaire] chez Igor Podlubny
* {{pdf}}[http://www.nd.edu/~msen/Teaching/UnderRes/FracCalc.pdf History, Definitions, and Applications for the Engineer], par Adam Loverro
== Bibliographie ==
* ''Introduction au calcul fractionnaire'', by Denis Matignon, dans ''Lois d'échelle, fractales et ondelettes', Hermes, Paris, 2002
* ''Theory and Applications of Fractional Differential Equations'', by Kilbas, A. A.; Srivastava, H. M.; and Trujillo, J. J. Amsterdam, Netherlands, Elsevier, Febrary 2006. ISBN 0-444-51832-0 (http://www.elsevier.com/wps/find/bookdescription.cws_home/707212/description#description)
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* ''Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators'', by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163-197, 2002. doi:10.1155/S1110757X02110102 (available [http://www.hindawi.com/GetArticle.aspx?doi=10.1155/S1110757X02110102&e=cta online] or as the [http://arxiv.org/abs/hep-th/0003126 arXiv preprint])
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[[Catégorie: Analyse fonctionnelle]]
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