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{{Multiple image
|width=200
|image1=Sum1111Plain.svg |alt1=Une représentation de la série 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯.|caption1=La série 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯.
|image2=Sum1111Smoothed.svg |alt2=Une représentation de la série 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ après lissage.|caption2=Après lissage.
}}
[[File:Sum1111Asymptote.svg|thumb|[[comparaison asymptotique|Comportement asymptotique]] de la courbe lissée. L'ordonnée à l'origine de la droite est −1/2<ref name=tao>{{lien web|auteur=[[Terence Tao]]|date=10 avril 2010 |titre=The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation |url=http://terrytao.wordpress.com/2010/04/10/the-euler-maclaurin-formula-bernoulli-numbers-the-zeta-function-and-real-variable-analytic-continuation/ |lang=en}}.</ref>. |alt=Représentation de la courbe lissée dans un repère. L'ordonnée à l'origine de la droite est −1/2<ref name=tao/>.]]
En [[mathématiques]], '''1 + 1 + 1 + 1 + ⋯''', également écrit <math>\sum_{n=1}^{\infin} n^0</math>, <math>\sum_{n=1}^{\infin} 1^n</math> ou simplement <math>\sum_{n=1}^{\infin} 1</math>, est une [[série divergente]], ce qui signifie que la suite de ses sommes partielles ne converge pas vers une [[limite d'une suite|limite]] dans les [[nombre réel|nombres réels]]. La suite (1<sup>''n''</sup>) est la [[suite géométrique]] de raison 1. La série géométrique de raison 1, à la différence de toutes les autres de raison [[nombre rationnel|rationnelle]] différente de −1, ne converge ni dans les réels, ni dans les [[nombre p-adique|nombres {{mvar|p}}-adiques]] pour certains&nbsp;{{mvar|p}}. Dans la [[droite réelle achevée]],
: <math>\sum_{n=1}^{\infin} 1 = +\infty</math>
puisque la suite des sommes partielles est [[Suite monotone|croissante]] et non [[Suite bornée|majorée]].
 
Quand la somme de {{math|''n''<sup>0</sup>}} apparaît dans des applications [[physique théorique|physiques]], elle peut parfois être interprétée, par [[régularisation zêta]], comme la valeur en {{math|1=''s'' = 0}} de la [[fonction zêta de Riemann]]
:<math>\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1-2^{1-s}}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s}\,,</math>
Les deux formules données ci-dessus ne sont cependant pas valides en 0 ; on peut donc essayer le [[prolongement analytique]] de la fonction zêta de Riemann,
:<math>
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)
\!,</math>
ce qui donne (sachant que <math>\Gamma(1) = 1</math>) :
:<math>
\zeta(0) = \frac{1}{\pi} \lim_{s \rightarrow 0} \ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \zeta(1-s) = \frac{1}{\pi} \lim_{s \rightarrow 0} \ \left( \frac{\pi s}{2} - \frac{\pi^3 s^3}{48} + ... \right)\ \left( -\frac{1}{s} + ... \right) = -\frac12.
\!</math>
 
== Notes et références ==
{{Traduction/référence|en|1 + 1 + 1 + 1 + ⋯|695170198|type=n}}
{{références}}
 
== Voir aussi ==
[[1 + 2 + 3 + 4 + ⋯]]
 
{{Portail|analyse}}
 
[[Catégorie:Série divergente]]
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