« Annuité constante » : différence entre les versions
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lien et mise en évidence plus claire de la relation inverse |
→Démonstration de la formule : J'y tiens à ma démonstration mais peut-être que j'ai tord. Est-il possible de conserver les deux démonstrations ? |
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=== Démonstration de la formule ===
Chaque année l'emprunteur doit verser une même somme appelée l'annuité constante égale à ''E x a'' si ''E'' est le montant de l'emprunt et ''a'' le taux d'annuité constante. Cette somme est composée d'une part des intérêts et d'autre part du remboursement du capital. Les intérêts vont en s'amenuisant chaque année puisqu'ils sont calculés sur ce qui reste à rembourser multiplié par ''i''. Donc les remboursements de l'emprunt vont à l'inverse en augmentant chaque année et le calcul de la deuxième année montre que le facteur est de ''1+i'' :
La {{1re}} année les intérêts sont de : <math>E\times i</math>
et donc le remboursement est de : <math>E(a-i)</math>
Les intérêts la {{2e}} année sont de : <math>E\bigl(1-(a-i)\bigr)\times i=E\bigl(i-i(a-i)\bigr)</math>
et donc le remboursement est de : <math>E\bigl(a-i+i(a-i)\bigr)=E(a-i)(1+i)</math>
Si on suppose que le remboursement augmente de ce même facteur chaque année alors la formule du remboursement ''R<sub>n</sub>'' à l'année ''n'' est :
<math>R_n=E(a-i)(1+i)^{n-1}</math>
Pour être sûr que c'est toujours le même facteur quelle que soit l'année cela nécessite la démonstration par récurrence écrite plus bas. Ainsi on voit apparaître une [[suite géométrique]] dont les termes sont les remboursements successifs d'emprunt. Donc en fait si ''R<sub>1</sub>'' soit ''E (a-i)'' est le remboursement de la première année et si ''R<sub>n</sub>'' est celui de la dernière année alors la somme ''R<sub>1</sub> + R<sub>2</sub> + ... + R<sub>n</sub>'' est égale à ''E'' le montant de l'emprunt. Après il suffit d'appliquer la formule de la somme d'une [[suite géométrique]] de raison ''r'' égale à ''1+i'' et de premier terme égal à ''E (a-i)'' pour résoudre l'équation et retrouver la formule du taux d'annuité constante.
On peut faire la démonstration rapide pour le calcul de la somme de cette suite géométrique.
Si ''S<sub>n</sub>'' est la somme des ''n'' termes alors on a :
<math>S_n=E(a-i)+E(a-i)(1+i)+{ \cdots+E(a-i)(1+i)^{n-1} }
</math>
En multipliant tous les termes par ''1+i'' on a :
<math>S_n(1+i)=E(a-i)(1+i)+{ \cdots }+E(a-i)(1+i)^{n-1}+E(a-i)(1+i)^{n}</math>
En soustrayant ces deux suites tous les termes s'annulent sauf le premier et le dernier :
<math>S_n(1+i-1)=E(a-i)(1+i)^n-E(a-i)</math>
<math>S_n\times i=E(a-i)\bigl((1+i)^n-1\bigr)</math>
<math>S_n=E(a-i)\times\frac{(1+i)^n-1}{i}</math>
<math>E\bigl(a-i\bigr)\times \frac{(1+i)^n-1}{i}=E
</math>
<math>a-i= \frac{i}{(1+i)^n-1}</math>
<math>a=\frac{i+i(1+i)^n-i}{(1+i)^n-1}</math>
<math>a={i(1+i)^n \over (1+i)^n-1}</math>
<math>a=\frac{i(1+i)^n(1+i)^{-n}}{\bigl((1+i)^n-1\bigr)(1+i)^{-n}}</math>
<math>a=\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}</math>
=== Démonstration par récurrence ===
L'emprunteur doit verser l'annuité constante <math>A</math> jusqu'à remboursement au temps prévu. Les intérêts sont calculés sur ce qui reste à rembourser multiplié par <math>i</math>. Ils vont donc en s'amenuisant. Les remboursements de l'emprunt vont à l'inverse en augmentant.
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! Échéances
! Emprunt - Restant dû
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| <math>E = E_0</math>
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