« Espace complet » : différence entre les versions
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→Quelques théorèmes : : Soit (E,d) un espace métrique et F une par ie non vide de E. a) Rappeler la définition d'un espace métrique complet. b) Montrer que si le sous espace métrique (F.d) est complet alors Fest une partie fermée de E. Balises : Révoqué Modification par mobile Modification par le web mobile |
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* Un espace vectoriel normé ''E ''est complet si et seulement si toute série [[convergence absolue#Extension aux séries à valeurs vectorielles|absolument convergente]] d'éléments de ''E ''est convergente : c'est la [[Espace de Banach#Caractérisation par les séries|caractérisation des espaces de Banach par les séries]].
*La notion d'[[oscillation (mathématiques)|oscillation]] permet de démontrer un théorème de [[Mikhaïl Lavrentiev|Lavrentiev]]<ref>{{Ouvrage|langue=en|auteur1=Stephen Willard|titre=General Topology|éditeur=[[Dover Publications|Dover]]|année=2012|année première édition=1970|page=178|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|UrsHbOjiR8QC|page=178}}}}.</ref> : si ''X'' et ''Y'' sont deux espaces métriques complets et ''A'' ⊂ ''X'', ''B'' ⊂ ''Y'' deux parties [[Partie dense|denses]], tout [[homéomorphisme]] de ''A'' dans ''B'' s'étend en un homéomorphisme entre deux [[Hiérarchie de Borel|G{{ind|δ}}]] (''A{{'}}'' et ''B{{'}}'', avec ''A'' ⊂ ''A{{'}}'' ⊂ ''X'' et ''B'' ⊂ ''B{{'}}'' ⊂ ''Y'').
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Soit (E,d) un espace métrique et F une par ie non vide de E.
a) Rappeler la définition d'un espace métrique complet.
b) Montrer que si le sous espace métrique (F.d) est complet alors Fest une partie fermée de E.
== Complété d'un espace métrique ==
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