« Loi normale » : différence entre les versions

Quelques remarques et propriétés immédiates (voir également [[#Remarques et propriétés immédiates|les propriétés ci-dessous]]) :

* le calcul de l'[[intégrale de Gauss]] permet de démontrer que la fonction {{mvar|φ}} est une densité de probabilité par la formule : <math>\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{exp}\left(-\frac{t^2}2\right)\,\mathrm dt= \sqrt{2\pi}</math> ;

* cette parité fait que l'espérance et les moments d'ordres impairs sont nuls ;

* les moments d'ordres pairs sont donnés par <math>m_{2k}=(2k-1)\cdots 3 \cdot 1=\frac{(2k)!}{2^k k!}</math><ref name="Cramér50"/>(en particulier, {{math|Var(''X'') {{=}} ''m''{{ind|2}} {{=}} 1}}), d'après la [[Suite définie par récurrence|relation de récurrence]] {{math|''m''{{ind|2''k''}} {{=}} (2''k''–1)''m''{{ind|2''k''–2}}}} pour {{math|''k'' ≥ 1}}, qui provient de l'[[intégration par parties]] suivante :{{Retrait|<math>m_{2k}=\int_{-\infty}^{+\infty} t^{2k-1}t\varphi(t)\,\mathrm dt=-\int_{-\infty}^{+\infty}t^{2k-1}\varphi'(t)\,\mathrm dt=(2k-1)\int_{-\infty}^{+\infty}t^{2k-2}\varphi(t)\,\mathrm dt</math>.}}

* la fonction vérifie : <math>\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=\lim_{x\to-\infty}\varphi(x)=0</math> ;

* la densité {{mvar|φ}} est [[Classe de régularité|infiniment dérivable]] ; un [[raisonnement par récurrence]] permet d'obtenir la formule<ref name="Tassi128">{{Harvsp|Tassi|Legait|1990|p=128}}.</ref> : <math>\varphi^{(n)}(x)=(-1)^n H_n(x)\varphi(x)</math> où {{mvar|H{{ind|n}}}} est le {{mvar|n}}-ième [[polynôme d'Hermite]] ;