« Matrice vide » : différence entre les versions

}}</ref>{{,}}<ref name="deBoor1990">{{harvsp|de Boor|1990}}</ref> est définie comme une [[matrice (mathématiques)|matrice]] dont l'une des dimensions <math>m</math> ou <math>n</math> est nulle ; il s'agit donc de matrices de dimension <math>m \times 0</math>, <math>0 \times n</math> ou bien <math>0 \times 0</math>.

Ces matrices sont utiles pour travailler avec l'[[espace nul]] <math>K^0</math> (<math>K</math> étant un corps commutatif quelconque, habituellement <math>\mathbb{R}</math> ou <math>\mathbb{C}</math>). Elles permettent donc d'appliquer les matrices à cet espace vectoriel trivial. D'un point de vue pratique, les matrices vides étendent la validité de théorèmes à des cas limites ; elles permettent par exemple d'utiliser des équations de dynamique à des situations statiques<ref name="NettHaddad1993771">{{harvsp|Nett|Haddad|1993|p=771}}.</ref>. En informatique, une matrice vide peut être le résultat d'une recherche infructueuse ou bien survenir au début ou à la fin d'un algorithme itératif ; l'extension des règles de l'algèbre aux cas limite des matrices vides permet donc d'éviter de traiter ces cas comme des exceptions<ref name="NettHaddad1993771" />.

L'espace nul <math>K^0</math> ne contient qu'un seul élément, le « vecteur vide » (le vecteur n'ayant aucune coordonnée<ref>Un tel vecteur est alors le 0-uplet d'éléments de <math>K</math>, et peut donc être identifié comme l'application vide vers <math>K</math>, notée <math>\varnothing_K</math>.</ref>). Un espace vectoriel ayant nécessairement un [[élément neutre]], ce vecteur vide est le [[vecteur nul]] de <math>K^0</math> noté <math>0_{K^0}</math> :

En tant que représentant d'une application nulle, une matrice vide est une matrice nulle :

La matrice vide de dimension <math>0 \times 0</math>, notée <math>()_{0, 0}</math>, représente en particulier l'[[application identité|identité]] <math>\mathrm{Id}_0</math> de l'espace nul. C'est donc une matrice inversible (régulière), donc carrée. Elle représente également l'application nulle, donc :

* l'[[Image d'une application linéaire|image]] de toute matrice vide est réduite au vecteur nul : <math>\operatorname{Im}~() = \{0\}</math> ; le [[Rang d'une matrice|rang]] de toute matrice vide est donc nul : <math>\operatorname{rg}~() = 0</math> ;

* le [[Noyau (algèbre)|noyau]] d'une matrice vide est l'espace tout entier : si <math>()_{n, m}</math> est vide, <math>\operatorname{Ker}~()_{m,n} = K^m </math> ;

* la [[Norme (mathématiques)|norme]] de toute matrice vide est nulle : <math>\| () \| = 0</math>;

* la [[Matrice transposée|transposée]] d'une matrice vide est encore vide ;

* le produit dépend de la dimension de la matrice vide considérée : pour une matrice A de dimension <math>m \times n</math> et une matrice B de dimension <math>n \times p</math>, au moins un des entiers <math>m</math>, <math>n</math> et <math>p</math> étant nul ; <math>AB</math> est une matrice de dimension <math>m \times p</math> et donc :

** si <math>m = 0</math> , alors <math>AB</math> est une matrice de dimension <math>0 \times p</math> donc une matrice vide : <math>()_{0, n} \times B = ()_{0, p}</math>,

**: <math>()_{m, 0} \times ()_{0, p} = 0_{m, p}</math> ; concrètement, la multiplication des matrices correspond à la composition d'applications linéaires, nous avons ici la composition de deux applications nulles, la résultante est logiquement l'application nulle de l'espace de départ <math>K^p</math> vers l'espace d'arrivée <math>K^m</math> ;

Pour la matrice vide de dimension <math>0 \times 0</math> :

*<math>()_{0, 0} = I_0</math> ([[matrice identité]]) donc :

**la matrice est sa propre [[Matrice inversible|inverse]] : <math>()_{0, 0}^{-1} = ()_{0, 0}</math>,

**la matrice <math>()_{0, 0}</math> à valeurs réelles est [[Matrice orthogonale|orthogonale]] ;

* [[Conditionnement (analyse numérique)|conditionnement]] :

}}.</ref> (une précision parfaite correspondant à un score de 1 et la matrice vide est une identité, les matrices unités ayant toutes un conditionnement de 1) ;

* [[Déterminant (mathématiques)|déterminant]] : <math>\operatorname{det}~()_{0, 0} = 0</math> ; c'est une conséquence de la notion de [[produit vide]] dans la formule de Leibniz et c'est cohérent avec le fait que c'est une matrice identité ;

* son [[polynôme caractéristique]] est 1 d'après le point précédent ;

* ce polynôme n'a pas de racine donc la matrice n'a pas de [[valeur propre]] (et donc pas de [[vecteur propre]]) ;

Concernant le produit, on a :

Le logiciel [[Scilab]] ne définit qu'une seule matrice vide notée <code>[]</code>. L'exemple précédent donne dans Scilab :

}}.</ref> ;

* <code>A*[] == []*A == []</code> ;

* <code>sum([]) == 0</code> et <code>prod([]) == 1</code> ;

* <code>det([]) == 0</code><ref>Contrairement à ce que mentionne l'aide en ligne.</ref> ;

* <code>inv([]) == []</code> ;

Le logiciel [[R (langage)|R]] permet de créer des matrices vides de toutes dimensions. Par exemple :

Le logiciel [[Maxima (logiciel)|Maxima]] ne permet de créer que des matrices colonne vides <math>()_{n, 0}</math> et la matrice carrée vide <math>()_{0, 0}</math> :

Notez que <code>matrix()</code> est la matrice <math>()_{0, 0}</math> ; Maxima n'est pas cohérent puisque <code>charpoly(A, x)</code>, qui calcule le polynôme caractéristique d'une matrice, renvoie une erreur indiquant que A n'est pas carrée mais a pour dimension <math>1 \times 0</math>. L'expression <code>matrix([])</code> donne la matrice <math>1 \times 1</math> qui contient le vecteur vide et qui, pour Maxima, est différente de <code>matrix()</code>. La transposée d'une matrice <math>()_{n, 0}</math> donne la matrice <math>()_{0, 0}</math>.

La librairie [[NumPy|numpy]] permet de créer une matrice vide (ci dessous, la matrice se compose de 0 lignes et 5 colonnes) :