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« Géométrie hyperbolique » : différence entre les versions

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m D'abord définir ce qu'est une droite dans un espace courbe...
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Ligne 61 :
 
==== Angle de parallélisme ====
Si {{mvar|P}} est un point hors de la droite {{mvar|D}} et {{mvar|H}} son projeté orthogonal sur {{mvar|D}} (avec {{mvar|a {{=}} HDPD}} la distance de {{mvar|P}} à {{mvar|D}}), les formules données ci-dessous pour un triangle rectangle {{mvar|PHM}}, avec {{mvar|M}} sur {{mvar|D}} s'éloignant à l'infini, aboutissent à la formule donnant le sinus de l'angle de parallélisme {{math|θ}}, formule découverte par [[Nikolaï Ivanovitch Lobatchevski|Lobatchevski]]<ref>{{Ouvrage |langue=en |auteur1=H.P. Manning |titre=Introductory Non-Euclidean Geometry |lieu=New York |éditeur=[[Dover Publications]] |année=1963 |passage=58 }}.</ref> :
:<math>\sin\theta =\frac1{\cosh a}=\frac2{\mathrm{e}^a+\mathrm{e}^{- a}} </math>.
Cet angle tend très rapidement vers 0 lorsque {{mvar|P}} s'éloigne de {{mvar|D}}, c'est-à-dire que la plupart des droites passant par {{mvar|P}} sont parallèles à {{mvar|D}}<ref name=angle>{{MathWorld|nom_url=AngleofParallelism|titre=Angle of Parallelism}}</ref>.
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