Jean-Luc W
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Je voudrais signaler un petit soucis sur la page "Valeur propre, vecteur propre et espace propre". La figure 2 "Exemple d'application linéaire: une symétrie par rapport à l'axe horizontal central" représente en fait une symétrie par rapport à un point... ceci plombe l'exposé (par ailleurs éclairant) au dessus car dans ce cas tous les vecteurs images représentés sont colinéaires à leurs antécédants.
== Pauvre Bachet, non mais... ==
Ouch, j'avais raté ta reprise de [[Théorème des deux carrés]] (avec de bonnes références, {{mdr}}). Bon, le problème est que la vie est compliquée. Disons que la vision il y a à peu près 15 ans (exception notable : Jean Itard) était que la seule chose importante faite depuis Euclide et al. jusqu'à Fermat et Descartes était l'algèbre. Avec cette vision (cf. Heath), Bachet et Frenicle et plein d'autres partent à la trappe. Or, il y a chez Bachet plusieurs choses importantes, dont de vraies tentatives sérieuses, rarissimes, d'étendre les livres arithmétiques d'Euclide pour y intégrer, avec des preuves, des problèmes de type Diophante. D'où les preuves en langage euclidien, pas algébrique, comme celle de 1624 sur le théorème de Bezout (si tu veux, je t'en envoie un extrait ou bien je vais essayer d'en mettre un morceau significatif sur Commons quand j'aurais le temps de scanner correctement).
En ce qui concerne ton théorème de Noël: ce qu'il y a dans Diophante, sauf erreur de ma part (disons que je n'ai relu tout Diophante récemment...) et sauf erreur des livres que j'ai sous la main (en particulier Dickson, ''History of the Theory of Numbers'', vol. 2, chap. 6), c'est le problème V. 12, la division de 1 en deux parties de sorte si on ajoute un nombre <math>a</math> à chaque partie, on ait des carrés (rationnels) - autrement dit, mais ''vraiment autrement'' dit et pensé, <math>2a+1</math> représenté comme somme de carrés. Et Diophante dit que <math>a</math> ne doit pas être impair, ok, et quelque chose d'autre que personne ne comprend vraiment (texte bizarre, peut-être interpolé), donc que tous les éditeurs (dès la Renaissance jusqu'à nos jours) ont essayé d'interpréter, peut-être des restrictions sur les facteurs premiers, peut-être pas ; moi je ne sais pas, je passe.
Bachet ajoute à cela différents exemples, et généralise le problème à la division de tout nombre en deux parties, etc., avec des conditions. Il discute aussi de problèmes liés à celui-ci à plusieurs endroits (ex : produit de somme de carrés est une somme de carrés, etc.).
Comme d'habitude, Fermat rajoute son grain de sel (commentaire à Diophante III, 22) en donnant le théorème qu'on veut (celui de la lettre de Noel), exprimé en terme d'hypoténuse de triangle rectangle (mais là Bachet a montré le rapport aux sommes de carrés tout à fait clairement, avec preuves, s'il vous plait, voir ta réf. de la note 15...), dans toute sa généralité (y compris le nombre de décompositions, etc.). La datation est moins nette que ce que tu dis, il a des morceaux (surtout une somme de carrés n'est pas 4n+3, la partie facile, assez tôt). Quoi qu'il en soit, il affirme vraiment avoir une preuve complète, par descente infinie, de ce théorème (dans sa lettre à Carcavi de 1659 par exemple).
Donc certainement, Fermat a plus que ce que tu lui accordes (même s'il n'y a pas de raison de croire que sa preuve serait parfaitement correcte pour nous, va savoir). Et Bachet sur ce coup-là précisément ne me semble pas un acteur majeur.
''Mais'', attention, l'énoncé donnant les nombres exprimables comme somme de deux carrés se trouve en fait ''avant'' Fermat chez Albert Girard, dans ses commentaires à Stevin (c. 1625, donc). Pas l'esquisse d'une preuve.
Après Fermat, Frenicle reprend l'énoncé complet dans son ''Traité des triangles'', sans preuve (il a une approche expérimentale assez développée de cet énoncé, qui figure comme exemple-clé dans sa ''Méthode des exclusions'', et qui lui donne l'énoncé complet correct, mais pas une preuve dans notre sens actuel). Et d'autres après lui, mais je n'ai jamais pisté cela en détail. Jusqu'à Euler, etc...
Voilà l'état des lieux (mais je ne serais pas étonnée de repêcher d'autres auteurs avant le 17e pour l'énoncé lui-même, il y a des bribes chez certains de toute manière).
Dernier détail : Bachet meurt un peu trop tôt pour être visible dans l'académie mathématique parisienne, qui se met à vraiment bien marcher vers 1637. Avant cela, il est en contact avec Mersenne, Billy (qui sera en contact avec l'académie et Fermat en particulier), etc. Mais on ne le rencontre pas comme correspondant de Fermat.
Pour finir : Je trouve Bachet très bon en fait (non, ceci n'est pas un point de vue neutre {{clin}}), prouver Bézout dans un style purement euclidien n'a rien de trivial et c'est le seul modèle disponible de preuve arithmétique à cette époque.
Voilà, voilà. Tu vas finir par me convaincre subrepticement de lancer dans les articles Frenicle (attention, dates fausses, venant d'une confusion de Condorcet qui a écrit sa notice avec son frère, Nicolas Frenicle, le poète), Fermat, etc. Pour l'instant, j'ai évité, cela ressemble trop à du travail ! Toutes mes amitiés, --[[User:Cgolds|Cgolds]] ([[User talk:Cgolds|d]]) 5 février 2008 à 18:45 (CET)
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