« Théorème des deux carrés de Fermat » : différence entre les versions

==Démonstrations==

 

Une première approche élémentaire montre que :

:* ''Si un entier ''n'' est somme de deux carrés, alors le reste de la division de ''n'' par ''quatre'' n'est jamais égal à trois.''

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L'identité de Brahmagupta permet d'aller plus loin dans l'analyse de l'équation. Elle permet de montrer que<ref>On peut trouver cette démonstration, par exemple sur le site [http://www.arithmetique.net/Les_theoremes_orphelins.htm Les théorèmes orphelins] par J.-M. Breton</ref>:

:* ''Si un nombre premier ''p'' est somme de deux carrés, alors les deux carrés sont uniques.''

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Une autre étape incontournable de la démonstration est cette fois un peu plus délicate. Elle consiste à étudier les restes de la division euclidienne par ''p'' de chacun des termes de l'équation ''x''² + ''y''² = ''p''. Comme le reste du terme de droite est nul, celui du terme de gauche est aussi nul. Cette démarche revient finalement à trouver une solution à l'équation suivante :

<center><math>(1)\quad x^2 + y^2 = k_1.p \quad\text{avec}\quad k_1 \in \mathbb N\;</math></center>

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La démonstration d'Euler, présentée ici, suit exactement le plan indiqué par Fermat. Après l'utilisation du petit théorème de Fermat pour l'étude du résidu quadratique, il utilise la [[méthode de descente infinie]]. Cette méthode, souvent utilisée en arithmétique, se fonde sur les propriétés des entiers positifs. Elle propose des [[Raisonnement par l'absurde|raisonnements par l'absurde]] fondée sur le fait qu'il n'existe pas dans ''N'' ''(l'ensemble des [[entier naturel|entiers positifs]])'' de [[Suite (mathématiques)|suite infinie]] strictement décroissante. La preuve consiste, à l'aide des hypothèses, à construire une suite infinie strictement décroissante d'entiers positifs. Comme une telle suite n'existe pas, une des hypothèses est démontrée être fausse.

 

::''p'' divise (α + i).(α - i). De plus il ne divise aucun des membres car s'il en divise un, il divise l'autre (c'est son [[conjugué]]) et il divise leur différence égale à 2.i. Or ''p'' ne divise pas 2.i, il n'est donc pas irréductible. Et il existe deux entiers de Gauss ''n'' et ''m'' non unitaires tel que ''p'' = ''n''.''m'' et comme la [[Entier de Gauss#Norme|norme]] de ''p'' est égale à ''p''² et qu'une norme est toujours un entier, la norme de ''n'' est égale à ''p''. La proposition est démontrée car une norme est somme de deux carrés.

}}

 

==Résultats connexes==