« Théorème de Cauchy-Lipschitz » : différence entre les versions
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=== Équation différentielle non autonome ===
A l'aide d'un habile jeu d'écriture<ref>Voir : {{BergerGostiaux1}} p 49. Attention, cette référence ne traite pas le cas où ''f'' est uniquement localement lipschitzienne par rapport à la deuxième variable.</ref>, il est possible de généraliser le cas particulier précédent aux équations dépendantes du temps. On considère maintenant l'équation ''(1)'' du théorème, associée à la condition de Cauchy ''C''. Soit ''g'', la fonction de Ω dans le Banach '''R'''x''E'', définie par :
<center><math>\forall y \in \Omega \quad g(y) = (1, f(y))\quad\text{avec}\quad y = (t,x)</math></center>
Si ''y''<sub>0</sub> désigne le point de Ω égal à (''t''<sub>0</sub>, ''x''<sub>0</sub>), on considère l'équation différentielle et la condition de Cauchy suivante :
<center><math>(2)\quad y' = g(y) \quad\text{avec la condition de Cauchy }C_2\quad y(t_0) = y_0</math></center>
La fonction ''g'' est localement lipschitzienne si ''f'' l'est. En effet, si ''y'' est un élément de Ω, il existe un voisinage ''V'' de ''y'' et le réel ''k'' strictement positif associée à ''f'' (qui est localement lipschitzienne par rapport à la deuxième variable) tel que, si les coordonnées de ''y''<sub>1</sub> (resp. ''y''<sub>2</sub>), un point de ''V'', sont notées ((''t''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>) (resp. (''t''<sub>2</sub>, ''x''<sub>2</sub>))
<center><math>\|g(y_1) - g(y_2)\| = \|(1, f(y_1)) - (1, f(y_2))\| = \|f(t_1, x_1) - f(t_2, x_2)\| \le k\|(t_1-t_2,x_1-x_2)\|</math></center>
Le théorème annoncé est néanmoins un peu plus fort que le résultat issu de la remarque précédente. Le théorème général ne suppose pas que ''f'' est localement lipschitzien, mais uniquement que ''f'' continue et localement lipschitzien par rapport à la deuxième variable. En fait, pour se rendre compte que ces hypothèses suffisent, il suffit de remarquer que le caractère lipschitzien n'intervient qu'à deux endroits, dans la démonstration.
Dans un premier temps, il apparaît nécessaire que l'image par ''g'' de la boule ''B'' soit majorée. Remarquons tout d'abord, avec les notations des paragraphes précédents, que la fonction de [-b + t<sub>0</sub>, b + t<sub>0</sub>] dans Ω, qui à ''t'' associe ||''f''(''t'', ''x''<sub>0</sub>)|| est continue d'un [[espace compact|compact]] dans '''R'''<sub>+</sub>, elle est donc majorée. Soit ''m''<sub>1</sub> un tel majorant. Montrons maintenant que ''g'' est borné sur ''B''. Soit ''y'' égal à (''t'',''x'') un point de ''B'' :
<center><math>\|g(y)\| \le \|g(y_0)\| + \|g(y_0) - g(y)\| \le \|g(y_0\| + \|f(t_0, x_0) - f(t,x_0)\| + \|f(t,x_0) - f(t,x)\| \le \|g(y_0)\| + m_1 + ka</math></center>
On dispose donc d'un majorant de la norme de g(''y'') indépendant de ''y'' si ''y'' est un élément de ''B''.
Le deuxième endroit de la démonstration où le caractère lipschitzien apparait est celui qui prouve que la fonction φ (maintenant définie à l'aide de la fonction ''g'') est bien contractante. Cette fois ci, ''F''<sub>x<sub>0</sub></sub> est l'ensemble des fonctions ''u''<sub>1</sub>(''t'') de [-b + t<sub>0</sub>, b + t<sub>0</sub>] dans ''B'', qui à ''t'' associe (''t'', ''u''(''t)'') où ''u''(''t'') est une fonction ''m''-lipschitzienne, à valeurs dans ''E'' et qui vaut ''x''<sub>0</sub> en ''t''<sub>0</sub>. Les mêmes calculs montrent que ''F''<sub>x<sub>0</sub></sub> est stable par φ et que φ est bien contractant. Pour montrer que φ est contractant, on considère encore deux fonctions ''u''<sub>1</sub> et ''v''<sub>1</sub> de ''F''<sub>x<sub>0</sub></sub> :
<center><math>\|\varphi_{u_1}(t) - \varphi_{v_1}(t) \| = \left\|\int_{t_0}^t g(u_1(\tau)) - g(v_1(\tau))\mathrm d \tau \right\| \le \left| \int_{t_0}^t \|f(\tau, u(\tau))- f(\tau, v(\tau))\| \mathrm d \tau \right| \le bk\|u-v\| = bk\|u_1-v_1\|</math></center>
== Généralisations ==
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