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[[Image:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|right|thumb|300px|L'[[ensemble de Mandelbrot]] (en noir), illustration d'un système dynamique sur le plan complexe]]
== Approche vulgarisée des nombres complexes ==
Les nombres complexes, comme tout concept mathématique, constituent à la fois une théorie et un outil. Pour les physiciens, par exemple, les nombres complexes constituent surtout un moyen très commode de simplifier les notations : on manipule deux valeurs distinctes avec un seul nom, une rotation s’exprime par une simple multiplication, etc. Il est ainsi très difficile d'étudier la relativité générale ou la mécanique quantique sans recourir aux nombres et expressions complexes.
Il est toutefois utile de les voir autrement que comme une boîte noire (au sens de [[Norbert Wiener]]) commode. En effet, ils présentent un aspect double :
* de par leur notation et la facilité de manipulation, ils sont semblables aux nombres « classiques » (entiers, réels…) ;
* de par leur génération, ils ne représentent rien de concret, et sont une pure abstraction.
Nous allons essayer, dans cette partie, d'avoir une approche rigoureuse mais se raccrochant à des concepts mieux maîtrisés, en suivant le cheminement indiqué par [[Albert Jacquard]] <ref>''Science à l'usage des non-scientifiques'', Albert Jacquard, 2003</ref>.
=== ''x'' et ''i'' ===
Lorsqu'on manipule les inconnues d’une équation, d'une inéquation ou d'un système d’(in)équations, on manipule une lettre qui représente un nombre réel inconnu. Parfois, on arrive à la conclusion qu'un nombre satisfaisant les équations considérées n’existe pas ; prenons un exemple simple, qui va nous servir de fil conducteur :
: <math>x^2+1=0</math> ;
on a donc manipulé un objet inexistant, « imaginaire ». On l’a additionné, multiplié… bien qu’il n’existe pas. On a donc parlé d'un ''nombre imaginaire''.
Donnons un nom à cette inconnue : on l'appelle ''i'' pour « impossible » ou « imaginaire ». (Historiquement, ''i'' est l’initiale du mot « impossible ».)
Dans les calculs des algébristes italiens sur la résolution de l'équation du troisième degré ([[méthode de Cardan]]), ce nombre s’élimine parfois à la fin, il n'apparaît pas dans le résultat final ; il n'aura été qu'un intermédiaire de calcul, un « [[catalyseur]] », un ''x'' manipulé comme tant d'autres. Cependant, dans d'autres cas, il subsiste : on obtient alors des expressions construites à partir de ''i'' par des additions, des multiplications avec des nombres réels, ainsi que des racines, carrées ou cubiques. Que faire de ces expressions, qui ne sont pas des nombres réels, mais semblent par ailleurs fournir des solutions, satisfaisantes du point de vue des calculs, aux équations considérées ? Peut-être les considérer comme des nouveaux nombres, non réels, imaginaires, mais d'un certain point de vue aussi valides que les nombres réels.
Cela semble suggérer de renoncer à une relation simple avec la réalité :
* un [[nombre entier]] peut représenter des objets distincts (des carottes, des tomates) ;
* un [[nombre réel]] peut représenter les dimensions d’un objet (par exemple la diagonale d’un carré) ;
* le nombre ''i'' ne représente pas directement de quantité physique « simple ».
Mais le problème se présentait déjà avec les nombres entiers négatifs ou fractionnaires : on ne peut pas « avoir -2 carottes » ni « creuser un demi-trou ». En d’autres termes, différents types de nombres s’appliquent bien ou mal aux différents types de problèmes que nous désirons traiter. À ce titre, ''i'' n’est en fait ni plus ni moins ''imaginaire'' (au sens courant du terme, cette fois-ci) que -2, 1/2 ou <math>\sqrt{2}</math>.
Le fait que l'on ne puisse pas associer aux nombres complexes d’intuition concrète aussi évidente que celle des entiers naturels ou des réels n’est pas gênant pour la théorie mathématique — bien qu'elle ait posé des problèmes conceptuels aux mathématiciens il y a plusieurs siècles. En effet, il est tout à fait possible de définir rigoureusement les opérations sur les nombres complexes en fonction des opérations sur les nombres réels sans devoir faire référence à une quelconque intuition.
Notons toutefois que les nombres complexes ont une utilisation en géométrie plane, et qu’ainsi on peut leur associer des concepts géométriques comme celui de [[point (géométrie)|point]] ou de [[vecteur]] du plan, ou encore les similitudes directes (les transformations géométriques qui conservent les angles, mais peuvent modifier les distances d’un certain facteur, et conservent l’orientation des figures).
=== Nombres et vecteurs ===
Pour comprendre les nombres complexes, on peut associer les nombres aux objets géométriques. L'idée générale a été énoncée par [[René Descartes|Descartes]], et a été appliquée aux complexes par [[Jean-Robert Argand]] [http://www.dimensions-math.org/Dim_CH5.htm].
[[Image:Real number line.svg|thumb|260px|Représentation de la [[droite (mathématiques)|droite]] des réels avec des exemples de constantes réelles]]
L'ensemble des nombre réels ℝ peut être représenté par une droite orientée et graduée. L'origine des graduations représente le zéro, et le nombre réel ''a'' est alors la flèche partant de 0 et de longueur ''a'' ; elle est dirigée vers la droite si ''a'' est positif, et vers la gauche si ''a'' est négatif. Le réel ''a'' est donc représenté par un [[vecteur]].
L'addition de deux réels ''a'' et ''b'' consiste à enchaîner les flèches, à les mettre bout à bout ; cela correspond à l'[[addition vectorielle|addition de vecteurs]].
[[File:Multiplication reelle representation geometrique.svg|thumb|260px|Représentation géométrique de la multiplication réelle]]
La multiplication correspond à une homothétie :
* la multiplication de ''a'' par un nombre ''b'' positif donne une flèche de longueur ''a''×''b'' ; on a « dilaté » le vecteur représentant ''a'' d'un facteur ''b'' ;
* la multiplication par -1 consiste à faire faire un demi-tour à la flèche ;
* la multiplication par un nombre négatif quelconque ''b'' consiste donc à dilater la flèche ''a'' d'un facteur |''b''| et à lui faire faire un demi-tour.
Le carré d'un nombre ''a'', ''a''<sup>2</sup>, s'obtient en multipliant deux fois 1 par ''a''. Le carré de -1 consiste donc à faire faire deux demi-tours à la flèche 1, c'est-à-dire un tour complet ; on obtient 1 :
: (-1)<sup>2</sup> = 1.
De manière générale, le carré d'un nombre est toujours positif.
[[File:Racine carree moins un representation geometrique.svg|thumb|260px|Construction de ''i'' comme la moitié de la multiplication par -1]]
Rechercher la racine carrée d'un nombre ''a'', √''a'', consiste donc à chercher l'opération qui, appliquée deux fois à la flèche 1, donne le nombre ''a'' :
: <math>x = \sqrt{a}</math>
signifie
: <math>1 \times x \times x = a</math>.
Si l'on veut définir la racine carrée de -1, notée ''i'', il suffit donc de trouver la moitié de l'opération qui transforme 1 en -1 :
: <math>1 \times i \times i = -1</math>.
L'opération qui transforme 1 en -1 est le demi-tour, la moitié de cette opération est donc le quart de tour. On trouve donc que ''i'' est une flèche qui est perpendiculaire à la droite des réels ; ce n'est donc pas un nombre réel.
=== Sens des opérations ===
Étant un nombre imaginaire, ''i'' n’appartient pas à <math>\mathbb{R}</math>. On sait additionner, et multiplier des nombres réels, mais il n'y a ''a priori'' pas de sens à effectuer des calculs faisant intervenir ''i''. Pourtant, dans les procédés de résolution des équations du troisième degré, de tels calculs apparaissent. Il nous faut donc essayer de donner un sens à des opérations telles que <math>a \cdot i</math> et <math>a + i \; (a \in \mathbb{R})</math>.
Il existe déjà un domaine dans lequel on effectue de telles opérations « hétérogènes » : les [[vecteur]]s.
Il semble donc raisonnable, pour comprendre les manipulations algébriques (les calculs) faisant intervenir ''i'', d'essayer de se le représenter comme un vecteur.
On se place dans un plan [[géométrie vectorielle|géométrique]] muni d’un repère, l’axe horizontal est <math>\mathbb{R}</math> muni d'un vecteur qu'on nomme <math>\vec{1}</math>, l’axe vertical est muni d'un vecteur qu'on nomme <math>\vec{\imath}</math>. On appelle ce plan le ''plan complexe''. On va voir que les calculs classiques sur ces vecteurs <math>\vec{1}</math> et <math>\vec{\imath}</math> correspondent aux calculs faisant intervenir les nombres réels et le nombre imaginaire ''i''. Le plan complexe est donc un '''modèle géométrique''' pour représenter les nombres réels et imaginaires, '''et''' les opérations entre eux.
Vu sous cet angle, l'addition complexe correspond à une addition de vecteurs, et la multiplication complexe correspond à une rotation associée à une homothétie, c'est-à-dire une similitude directe.
La confusion vient de ce que l'on écrit :
: 1 + ''i''
on semble additionner des quantités hétérogènes, alors que si l'on écrivait
: <math>\vec{1} + \vec{\imath}</math>
(ce que personne ne fait), cela poserait moins de problèmes « conceptuels ». Pourtant, la notation
: 1 + ''i''
est aussi légitime puisque l'on ajoute une quantité connue (1) à une quantité inconnue (''i'', solution de x<sup>2</sup> + 1 = 0).
De même, d'un point de vue vectoriel, l'écriture
: 2⋅''i''
peut se voir comme le produit d'un vecteur par un scalaire, ou bien comme une transformation géométrique (<math>\vec{2} \cdot \vec{\imath}</math>).
=== Commentaires sur cette vulgarisation ===
Les nombres complexes peuvent parfois susciter un certain malaise chez certains élèves et étudiants (illustré par une scène du film ''Les Désarrois de l’élève Törless'' de [[Volker Schlöndorff]]) : ''i'' est un « extra-réel », un « E.R. » (avec la même [[Dénotation et connotation|connotation]] que « E.T. l'extraterrestre »), un intermédiaire de calcul encombrant que l’on a donc placé sur un autre axe. La présentation géométrique permet de démystifier les nombres complexes et d’en donner une intuition.
La multiplication dans le plan complexe est une construction géométrique au même titre que d'autres qui, appliquée aux réels, se résume à la multiplication simple, et qui, appliquée à un réel et à un complexe quelconque, se résume au produit d'un vecteur par un scalaire. L'écriture « ''a'' + ''b'' · ''i'' » peut être vue comme un abus d'écriture qui consiste à mettre sur le même plan les scalaires et les vecteurs, ce qui ici est légitime.
== Description ==
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