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:::<math> = a_1 (1,0,0) + a_2 (0,1,0) + a_3 (0,0,1) \,</math>
:::<math> = a_1 e_1 + a_2 e_2 + a_3 e_3 \,</math>
=== [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|Analyse fonctionnelle]] ===
Soit <math>K</math> l'ensemble <math>\mathbb{C}</math> de tous les [[nombre complexe|nombres complexes]], et soit <math>E</math> l'ensemble <math>\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{C})</math> des [[fonction (mathématiques)|fonctions]] [[continuité|continues]] de la [[droite réelle]] <math>\mathbb{R}</math> dans le [[plan complexe]] <math>\mathbb{C}</math>.
Considérons les vecteurs (fonctions) <math>f</math> et <math>g</math> définies par <math>f(t)=e^{it}</math> et <math>g(t)=e^{-it}</math>.
(Ici, <math>e</math> désigne la [[e (nombre)|base du logarithme néperien]], approximativement égale à 2,71828, et <math>i</math> le [[nombre imaginaire]].
Des combinaisons linéaires de <math>f</math> et <math>g</math> sont:
*<div style="vertical-align: 0%;display:inline;"><math> \cos = \begin{matrix}\frac12\end{matrix} f + \begin{matrix}\frac12\end{matrix} g \,</math></div>
*<div style="vertical-align: 0%;display:inline;"><math> 2 \sin = (-i ) f + ( i ) g \,</math></div>
Par contre, la fonction constante 3 n'est ''pas'' une combinaison linéaire de <math>f </math> et <math>g</math>. Pour le voir, supposons [[raisonnement par l'absurde|par l'absurde]] que 3 puisse être écrite comme combinaison linéaire des fonctions <math>t\mapsto e^{it}</math> et <math>t\mapsto e^{-it}</math>. Cela signifierait qu'il existerait des scalaires complexes <math>a</math> et <math>b</math> tels que pour tout réel <math>t</math>, <math>ae^{it}+be^{-it}=3</math>. En posant <math>t=0</math> et <math>t=\pi</math>, cela donnerait les relations <math>a+b=3</math> et <math>a+b=-3</math>, qui ne pourraient clairement se produire.
===[[Géométrie algébrique]]===
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