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En [[analyse réelle]], on appellele '''théorème de la bijection''' est un [[corollaire]] du [[théorème des valeurs intermédiaires]], prouvantaffirmant lqu'existenceune [[fonction continue]] et strictement [[fonction monotone|monotone]] sur un [[intervalle]] constitue d'une [[bijection]] entre deuxcet ensembles.intervalle Cetteet versionson seimage. complèteCette dansbijection leest supérieurmême parun des[[homéomorphisme]], propriétésc'est-à-dire touchantque la [[applicationfonction réciproque|réciproque]] de la bijection ainsiest obtenueégalement continue.
== Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ==
{{théorème|nom=Théorème de la bijection (version 1)| énoncé=Si f est une fonction de <math> \R</math> dans<math> \R</math> [[continuité|continue]] et strictement [[fonction monotone|monotone]] sur un [[intervalle]] I= [a;b] alors f détermine une bijection de [a;b] vers un intervalle J dont les bornes sont f(a) et f(b).}} ▼
Ce théorème n'est pas vrai sur les [[nombre rationnel|nombres rationnels]], ce qui a empêché une construction rigoureuse de l'analyse jusqu'au {{XIXe siècle}}. Pour une approche rigoureuse, il a fallu attendre les travaux de [[Richard Dedekind|Dedekind]] et de [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] qui ont fourni une construction des [[nombre réel|nombres réels]]. ▼{{boîte déroulante début|align=left|titre=Démonstration du théorème }}
Ce théorème s'appuie explicitement sur le[[théorème des valeurs intermédiaires]] et sur les propriétés liées à la monotonie de f. On suppose f croissante sur [a ;b], (une démonstration analogue est réalisable pour f décroissante).
* Puisque f est strictement croissante sur [a;b] on sait que f(x) appartient à [f(a);f(b)]. En effet, comme a ≤ x ≤ b et que f est croissante on a f(a) ≤ f(x) ≤ f(b);
* Soit y un élément de [f(a);f(b)], il s'agit de prouver que que y possède un unique antécédent dans [a;b]
** Comme f est continue sur [a;b] et que y appartient à [f(a);f(b)], le [[théorème des valeurs intermédiaires]] prouve qu'il existe au moins un réel x dans [a;b] tel que f(x) = y
** Comme f est strictement monotone, y ne possède qu'un seul antécédent. En effet, si <math>f(x_1)=f(x_2)</math>, la stricte monotonie de f empêche <math>x_1</math> d'être différent de <math>x_2</math>.
{{boîte déroulante fin}}
== Énoncé ==
'''Généralisation.''' Le théorème se généralise à des intervalles I ouverts ou semi-ouverts, l'intervalle J est alors un intervalle ''de même nature'' que I. Le terme de ''même nature'' doit être explicité. Le théorème de la bijection précise que ▼=== Sur un segment ===
* si I=[a, b[ et f est croissante, l'intervalle J est <math>[f(a), \lim_b f[</math>
▲{{théorème|nom=Théorème de la bijection (versionentre 1)segments| énoncé=Si f est une fonction de <math> \Rf</math> dans<math>est \R</math>une fonction [[continuité|continue ]] et strictement [[fonction monotone |monotone]] sur un [[intervalle ]] I= <math>[a;b] </math> à valeurs réelles, alors felle détermineconstitue une bijection deentre <math>[a;b] </math> verset un intervalle Jfermé dont les bornes sont <math>f(a) </math> et <math>f(b) </math>.}}
* si I=[a, b[ et f est décroissante, l'intervalle J est <math>]\lim_b f, f(a)]</math> ▼* etc.
;Formulation équivalente
'''Formulations équivalentes du théorème.''' si f est continue strictement monotone sur un intervalle I de bornes a et b
*:Si <math>f</math> est continue et strictement monotone sur un intervalle <math>[a; b]</math>, alors pour tout élémentréel <math>k</math> strictement compris entre les limites de <math>f en (a)</math> et <math>f(b)</math>, il existe unune unique solution à l'équation {{nobr|<math>cf(x) = k</math>}} ded'inconnue <math>Ix</math> tel quedans <math>f(c)[a; = kb]</math>.
* pour tout élément <math>k</math> strictement compris entre les limites de f en a et b, l'équation <math> f(x) = k</math> d'inconnue ''x'' admet une unique solution dans <math>I</math>.
;Démonstration
===Remarques===
:Le [[théorème des valeurs intermédiaires]] assure que tout réel de compris entre <math>f(a)</math> et <math>f(b)</math> admet au moins un antécédant par <math>f</math>. La stricte monotonie implique que deux réels distincts ne peuvent avoir la même image, ce qui entraine l'unicité de l'antécédant.
Ce théorème permet de prouver l'existence de [[Application réciproque|fonctions réciproques]] et de bâtir ainsi une large famille de fonctions élémentaires essentielles à l'élaboration de la branche des mathématiques appelée [[Analyse (mathématiques)|analyse]].
* Les fonctions définies de <math>\mathbb{R}_+</math> dans <math>\mathbb{R}_+</math> qui à <math>x\,</math> associent <math>\sqrt[n]{x}\,</math> sont les fonctions réciproques des fonctions définies de <math>\mathbb{R}_+</math> dans <math>\mathbb{R}_+</math> qui à <math>x\,</math> associent <math>x^n\,</math>.
* les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques classiques, [[arcsinus|arc sinus]], [[arccos|arc cosinus]] et [[arctangente|arc tangente]], sont aussi définies grâce à ce théorème. ▼▲Ce théorème n'est pas vrai sur les [[nombre rationnel|nombres rationnels]], ce qui a empêché une construction rigoureuse de l'analyse jusqu'au {{XIXe siècle}}. Pour une approche rigoureuse, il a fallu attendre les travaux de [[Richard Dedekind|Dedekind]] et de [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] qui ont fourni une construction des [[nombre réel|nombres réels]].
=== Sur un intervalle quelconque ===
Le théorème de la bijection donne des conditions suffisantes pour construire une bijection d'un intervalle I sur un intervalle J mais ces conditions ne sont pas nécessaires. Il existe en effet des bijections de I sur J qui ne sont ni continues ni monotones. En revanche,
▲'''Généralisation.''' Le théorème se généralise à des intervalles I ouverts ou semi-ouverts, l'intervalle J estétant alors un intervalle ''de même nature '', queavec I.des bornes Lepouvant termeêtre definies ''mêmeou nature'' doit être explicitéinfinies. Le théorème de la bijectionPar préciseexemple que:
* une fonction injective continue sur I est nécessairement strictement monotone. Donc une bijection continue de I sur J est toujours monotone. ▼* unesi fonction monotone surjective d'un intervalle sur un intervalle<math>f</math> est continue. Doncet unestrictement bijectioncroissante monotonesur d'un<math>[a intervalle; I sur unb[</math>, l'intervalle J est toujours<math>[f(a), continue.\lim_b f[</math> ;
▲* si I=[a,<math>f</math> b[est continue et f eststrictement décroissante sur <math>[a ; b[</math>, l'intervalle J est <math>]\lim_b f, f(a)]</math> …
{{boîte déroulante début|align=left|titre=Démonstrations de ces résultats }}
Cette généralisation peut être ramenée à la formulation suivante :
si <math>f</math> est continue et strictement monotone sur un intervalle <math>I</math> de bornes <math>a</math> et <math>b</math> (finies ou infinies), pour tout réel <math>k</math> strictement compris entre les limites de <math>f</math> en <math>a</math> et en <math>b</math>, il existe un unique <math>c</math> de <math>I</math> tel que <math>f(c) = k</math>, autrement dit l'équation <math>f(x) = k</math> admet une unique solution dans <math>I</math>.
== Applications ==
▲*Ce lesthéorème permet de définir certaines [[Application réciproque|fonctions réciproques ]] descomme la [[fonction racine carrée]], les fonctions trigonométriques classiques,réciproques [[arcsinus|arc sinus]], [[arccos|arc cosinus]] et [[arctangente|arc tangente]], sontmais aussi définies grâcel'[[exponentielle]] à cepartir théorèmedu [[logarithme népérien]].
== Réciproques du théorème ==
Il est possible de construire des bijections entre intervalles réels qui ne sont ni monotones ni continues, en revanche certains résultats peuvent être considérés comme des [[réciproque]]s du théorème de la bijection.
▲* uneUne fonction injective continue injective sur Iun intervalle réel est nécessairement strictement monotone. DoncPar conséquent une bijection continue deentre Iintervalles sur Jréels est toujours strictement monotone.
* Une fonction monotone surjective d'un intervalle sur un autre intervalle est nécessairement continue. Par conséquent une bijection monotone entre intervalles réels est toujours continue.
{{Démonstration|titre=Démonstrations|contenu=
* La fonction f définie sur [0;2] par f(x)=x si x appartient à [0;1[ et f(x)=3 - x si x appartient [1;2] définit une bijection de [0;2] sur [0;2] alors qu'elle n'est ni monotone ni continue.
* Si ''f'' n'était pas monotone sur I, il existerait trois réels a <b< c pour lesquels f(b) ne serait pas entre f(a) et f(c). Soit k la valeur prise parmi f(a) et f(c), la plus proche de f(b). Si k = f(b), la fonction f n'est pas injective. Sinon, cette valeur k est comprise entre f(b) et f(a), la fonction f étant continue, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, la valeur k possèderait un antécédent dans l'intervalle [a, b[ . De même, k étant compris entre f(b) et f(c), k possède un antécédent dans l'intervalle ]b, c]. La fonction ne peut donc pas être injective. Par contraposée, si ''f'' est injective alors ''f'' est strictement monotone.
* Si f est une fonction monotone, par exemple croissante sur un intervalle I, elle possède en tout point intérieur à son ensemble de définition, une limite à droite et une limite à gauche. Si f n'était pas continue en c alors <math>\lim_{c^-}f < \lim_{c^+}f</math>. Or, pour tout x < c, <math> f(x) < \lim_{c^-}f</math> et, pour tout x > c, <math>f(x) >\lim_{c^+}f</math> . L'ensemble f(I) comporterait donc un ''trou'' : <math>[\lim_{c^-}f ,\lim_{c^+}f ]-\{f(c)\}</math> et ne pourrait donc pas être un intervalle. (Si la non continuité est à une des bornes, on remplace une des limites par la valeur en c). Par contraposée, si f(I) est un intervalle alors ''f'' est continue sur I.
}}
{{boîte déroulante fin}}
===Utilisation pratique===
Remarquons que l'application <math>f</math> donnée n'est pas forcément bijective.
Dans la pratique, pour appliquer ce théorème, nous devons
*vérifier que <math>f</math> est continue sur <math>I</math>,
*vérifier que <math>f</math> est strictement monotone,
*déterminer l'intervalle <math>J=f(I)</math> qui est de même type que l'intervalle <math>I</math> (ouvert, fermé ou semi-ouvert), dont les bornes sont les limites de <math>f</math> aux bornes de <math>I</math>, ou les valeurs que prend <math>f</math> aux bornes.
== Homéomorphisme ==
En réalité, les propriétéshypothèses requises permettent de démontrer non seulement l'existence d'une bijection mais aussi le caractère continu de sa réciproque. Autrement dit Une fonction continue de A vers B dont la réciproque est continue de B vers A est appelée un [[homéomorphisme]]. leLe théorème de la bijection peut alors s'énoncer ainsi :
{{théorème|Théorème de la bijection (version 2)| Soit I un intervalle et f une fonction continue et strictement monotone de I dans <math>\textstyle \R</math>. En notant <math>\tilde{f}</math> la même fonction restreinte à l'arrivée à <math>f(I)</math>, on a alors
# <math>f(I)</math> est un intervalle de <math>\R</math>
# <math>\tilde{f}</math> est bijective
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