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« Fonction zêta de Riemann » : différence entre les versions

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+ propriétés statistiques des zeros non triviaux
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développement de l'aspect "chaos quantique" + références
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[[catégorie:Théorie des nombres]][[catégorie:Analyse complexe]][[catégorie:Fonction remarquable|Zeta de Riemann]]▼
 
La '''fonction zêta de Riemann''' <math>\zeta</math> est une [[fonction holomorphe]] définie pour tout [[nombre complexe]] <math>s</math> de partie réelle <math>\Re e \ (s) > 1</math> par la [[série]] convergente :
 
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== Les zéros de la fonction zeta ==
 
=== DéfinitionsZéros triviaux ===
 
* La fonction <math>\zeta</math> présente une suite de [[zéro (analyse complexe)|zéros]] dits ''triviaux'' sur l'axe réel négatif :
 
{| align="center" border="0"
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|}
 
=== Zéros non triviaux - Hypothèse de Riemann ===
* La célèbre [[hypothèse de Riemann]] est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros ''non triviaux'' de la fonction <math>\zeta</math> ont tous pour partie réelle 1/2.▼
 
▲* La célèbre [[hypothèse de Riemann]] est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros ''non triviaux'' <math>s_k</math> de la fonction <math>\zeta</math> ont tous pour partie réelle 1/2., c'est à dire que :
 
{| align="center" border="0"
|<math>\zeta \left( s_k \right) \ = \ 0 \quad \Longrightarrow \quad \exists \ E_k \in \mathbb{R} , \qquad \zeta \left( \, \frac{1}{2} \ + \ i \ E_k \, \right) \ = \ 0
</math>
|}
 
Hilbert et Polya ont suggerés que la conjecture de Riemann était vraie si l'on pouvait trouver un opérateur [[hermitien]] <math>\hat{H}</math> dont les valeurs propres réelles soient exactement les parties imaginaires <math>E_k</math> des zéros non triviaux :
 
{| align="center" border="0"
|<math>\ \hat{H} \ \psi_k \ = \ E_k \ \psi_k
</math>
|}
 
Un tel opérateur hermitien n'a pas encore été trouvé explicitement à ce jour. Néanmoins, cette équation aux valeurs propres suggère un lien avec un problème de [[mécanique quantique]] non relativiste qui est précisé dans le paragraphe suivant.
 
=== Propriétés ===
 
==== Liens avec les nombres premiers ====
 
Les zéros de la fonction <math>\zeta</math> jouent un rôle important, parce que certaines intégrales de contour impliquant la fonction <math>s\mapsto \ln(1/\zeta(s))</math> peuvent être utilisées pour approcher la fonction π du nombre de nombres premiers (voir [[théorème des nombres premiers]]). Ces intégrales de contour se calculent au moyen du [[théorème des résidus]], et la connaissance des singularités est donc nécessaire.
 
==== Propriétés statistiques des zéros non trivaux & chaos quantique ====
 
Les ''propriétés statistiques'' des zéros non trivaux de la fonction <math>\zeta</math> ressemblent asymptotiquement à celle des valeurs propres d'un grand ensemble de [[matrices aléatoires]] unitaires gaussiennes de l'ensemble GUE. Cette conjecture est basée sur de nombreux résultats numériques, et fortement supportée par un théorème rigoureux de Montgomery<ref>H. L. Montgomery, ''The pair correlation of zeros of the zeta function'', Analytic number theory (Proceedings of Symposium in Pure Mathemathics, Vol. 24 (St. Louis Univ., St. Louis, Mo., 1972), American Mathematical Society (Providence, R.I., 1973), pp. 181–193. </ref>. Ceci a conduit le physicien théoricien [[Michael Berry]] à conjecturer que les parties imaginaires <math>E_k</math> des zéros non triviaux pouvaint s'interpréter comme les valeurs propres d'un opérateur [[hamiltonien]] décrivant un système [[mécanique quantique|quantique]] non relativiste qui serait classiquement [[théorie du chaos|chaotique]], et dont les orbites classiques ne possèdent pas la symétrie de renversement du temps<ref>Michael V. Berry ; ''Riemann's zeta function: a model for quantum chaos?'', dans : T H Seligman and H Nishioka (eds.) ; ''Quantum chaos and statistical nuclear physics'', Springer Lecture Notes in Physics No. 263, Springer-Verlag (1986) 1-17. Texte complet disponible au format [http://www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry154.pdf pdf].</ref> <ref>Michael V. Berry ; ''Semiclassical formula for the number variance of the Riemann zeros'', Nonlinearity 1 (1988) 399-407. Texte complet disponible au format [http://www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry175.pdf pdf].</ref> <ref>Michael V. Berry ; ''Quantum mechanics, chaos and the Riemann zeros'', dans : A O Barut, I D Feranchuk, Ya M Shnir and L M Tomil ‘chik (eds.) ; ''Quantum systems: new trends and methods'',
World Scientifc (1995) 387-392. Texte complet disponible au format [http://www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry264.pdf pdf].</ref>. Mieux, un opérateur hamiltonien semblant posseder les bonnes propriétés a été récemment exhibé par Berry et Keating<ref>Michael V. Berry & Jonathan P. Keating ; ''H = xp and the Riemann zeros'', dans : I V Lerner et J P Keating (eds.) ; ''Supersymmetry and trace formulae: chaos and disorder'', Plenum Press (New York - 1999), 355-367. Texte complet disponible au format [http://www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry306.pdf pdf].</ref> <ref>Michael V. Berry & Jonathan P. Keating ; ''The Riemann Zeros and Eigenvalue Asymptotics'', SIAM Review 41 (1999), 236-266. Texte complet disponible au format [http://www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry307.pdf pdf].</ref>.
 
Les propriétés statistiques des zéros non trivaux continuent d'être l'objet d'intenses recherches, tant numériques qu'analytiques<ref>Propriétés statistiques de la fonction zeta :
Les ''propriétés statistiques'' des zéros non trivaux de la fonction <math>\zeta</math> ressemblent asymptotiquement à celle des valeurs propres d'un grand ensemble de matrices aléatoires unitaires gaussiennes de l'ensemble GUE (conjecture de Montgomery<ref>H. L. Montgomery, ''The pair correlation of zeros of the zeta function'', Analytic number theory (Proceedings of Symposium in Pure Mathemathics, Vol. 24 (St. Louis Univ., St. Louis, Mo., 1972), American Mathematical Society (Providence, R.I., 1973), pp. 181–193. </ref>). Ces propriétés statistiques continuent d'être intensément étudiées, tant numériquement qu'analytiquement<ref>Propriétés statistiques de la fonction zeta :
* Eugene B Bogomolny & Jonathan P. Keating ; ''Random matrix theory and the Riemann zeros I: three- and four-point correlations'', Nonlinearity 8 (1995) 1115-1131.
* Eugene B Bogomolny & Jonathan P. Keating ; ''Random matrix theory and the Riemann zeros II: n-point correlations'', Nonlinearity 9 (1996), 911-935.
* Michael V. Berry & Jonathan P. Keating ; ''The Riemann Zeros and Eigenvalue Asymptotics'', SIAM Review 41 (1999), 236-266.
* Oriol Bohigas, Patricio Leboeuf et M.-J. Sanchez ; ''Spectral spacing correlations for chaotic and disordered systems'', Foundations of Physics 31 (2001) 489-517. Texte complet disponible sur l'ArXiv : [http://arxiv.org/abs/nlin.CD/0012049 nlin.CD/0012049].
* Francesco Mezzadri ; ''Random matrix theory and the zeros of zeta'(s)'', Journal of Physics A: Mathematical ans General Vol. 36 (2003), 2945-2962. Texte complet disponible sur l'ArXiv : [http://arxiv.org/abs/math-ph/0207044 math-ph/0207044].
* JonathanPJonathan P. Keating ; ''Random matrices and the Riemann zeta-function – a review'', Applied Mathematics ''Entering the 21st Century'': Invited Talks from the ICIAM 2003 Congress; editors, James M. Hill and Ross Moore (SIAM) (2004), 210-225.
* Eugene Bogomolny, Oriol Bohigas, Patricio Leboeuf & A. G. Monastra ; ''On the spacing distribution of the Riemann zeros: corrections to the asymptotic result'', [http://arxiv.org/abs/math/0602270 math/0602270].</ref>. On pourra lire également : Philippe Biane ; ''La fonction zeta de Riemann et les probabilités'', Journées X-UPS (2003), texte au format [http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups02-03.pdf pdf].
 
== Aspects divers ==
 
* Euler était aussi capable de calculer la valeur de la fonction <math>\zeta</math> pour les [[nombre entier|entiers]] positifs ''pairs'' en utilisant la formule :
 
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== Bibliographie ==
 
=== LivresTraités généraux ===
 
* Jean-Benoît Bost, Pierre Colmez et Philippe Biane ; ''La fonction Zêta'', Éditions de l'Ecole polytechnique (Paris - 2002), ISBN 2730210113.
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* S. J. Patterson ; ''An Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function'', Cambridge Studies in Advanced Mathematics (No. 14), Cambridge University Press (1995), ISBN 0521499054.
 
=== Travaux récents ===
 
<references/>▼
 
=== Liens externes pour les problèmes d'irrationalité ===
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*[http://wain.mi.ras.ru/zw/index.html Historique]
 
{{portail mathématiques}}
== Notes & références ==
{{portail physique}}
 
[[catégorie:Théorie des nombres]]
▲<references/>
[[catégorie:Analyse complexe]]
▲[[catégorie:Théorie des nombres]][[catégorie:Analyse complexe]][[catégorie:Fonction remarquable|Zeta de Riemann]]
[[Category:Physique théorique]]
 
[[ar:دالة زيتا]]
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