« Attracteur de Lorenz » : différence entre les versions
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{{article général|théorie du chaos}}
[[Image:Lorenz attractor boxed.svg|thumb|300px|right|L'attracteur de Lorenz]]
En 1963, le [[météorologie|météorologue]] [[Edward Lorenz]] est le premier à mettre en évidence le caractère vraisemblablement [[Théorie du chaos|chaotique]] de la [[météorologie]].
L''''attracteur de Lorenz''', baptisé d'après son découvreur [[Edward Lorenz]], est une structure [[fractale]] correspondant au comportement à long terme de l'[[système dynamique de Lorenz|oscillateur de Lorenz]]. Cet oscillateur est un système dynamique tridimensionel qui engendre un comportement chaotique dans certaines conditions. L'attracteur montre comment les différentes variables du système dynamique évoluent dans le temps en une trajectoire non périodique.▼
Le ''modèle de Lorenz'', appelé aussi ''système dynamique de Lorenz'' ou ''oscillateur de Lorenz'', est une modélisation simplifiée de phénomènes météorologiques basée sur la [[mécanique des fluides]]. L'oscillateur de Lorenz est un [[système dynamique]] tridimensionnel qui engendre un comportement chaotique dans certaines conditions.
▲L''''attracteur de Lorenz''', baptisé d'après son découvreur
Le modèle de Lorenz a eu des répercussions importantes en montrant les limites possibles sur la capacité de [[prédiction]] à long terme de l'évolution climatique et météorologique.
C'est est aussi un exemple utile à la théorie des systèmes dynamiques servant de source à de nouveau concepts mathématiques<ref> http://www.bourbaphy.fr/ghys.pdf</ref>.
== Modèle de Lorenz ==
L'attracteur et les équations associées ont été rendues publiques en 1963 par [[Edward Norton Lorenz|Edward Lorenz]]
Mathématiquement, le couplage de l'[[Atmosphère (Terre)|atmosphère]] avec l'[[océan]] est décrit par le système d'[[équation aux dérivées partielles|équations aux dérivées partielles]] couplées de [[Équations de Navier-Stokes|Navier-Stokes]] de la [[mécanique des fluides]]. Ce [[système d'équations]] était beaucoup trop compliqué à [[Résolution numérique des équations différentielles|résoudre numériquement]] pour les ordinateurs existant au temps de Lorenz. Celui-ci eut donc l'idée de chercher un modèle très simplifié de ces équations pour étudier une situation physique particulière : le phénomène de [[convection]] de [[John William Strutt Rayleigh|Rayleigh]]-[[Henri Bénard|Bénard]]. Il aboutit alors à un [[système dynamique]] [[équation différentielle|différentiel]] possédant seulement ''trois'' degrés de liberté, beaucoup plus simple à intégrer numériquement que les équations de départ.
=== Système dynamique différentiel de Lorenz ===
Ce système différentiel s'écrit :
▲L'attracteur et les équations associées ont été rendues publiques en 1963 par [[Edward Norton Lorenz|Edward Lorenz]], qui les avait extraites d'une version simplifiée des équations de [[convection]] qui surviennent dans l'atmosphère.
Il est défini comme l'ensemble des trajectoires à long terme du [[système dynamique de Lorenz]] :▼
▲\frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t}=\sigma \bigl( y(t) - x(t) \bigr)\\
\frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t}=\rho \, x(t) - y(t) - x(t) \, z(t)\\
\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t} =x(t) \, y(t) - \beta \, z(t) \end{cases}</math>
Dans ces équations, <math>\sigma, \rho</math> et ''β'' sont trois paramètres réels strictement positifs fixés.
Les variables dynamiques <math>x,y</math> et <math>z</math> représentent l'état du système à chaque instant. L'interprétation physique en est la suivante : x(t) est proportionnel à l'intensité du mouvement de convection, y(t) est proportionnel à la différence de température entre les courants ascendants et descendants, et z(t) est proportionnel à l'écart du profil de température vertical par rapport à un profil linéaire <ref>Tels que définis dans l'article de [[#Lorenz 1963|Lorenz, 1963]], p.135</ref>.
On pose souvent <math>\sigma</math> = 10,
<math>\beta</math> = 8/3 ; <math>\rho</math> restant variable. Le système présente un comportement chaotique pour <math>\rho</math> = 28.
=== Points d'équilibre ===
▲Le modèle de Lorenz a eu des répercussions importantes sur la capacité de prédiction à long terme de l'évolution climatique et météorologique. Il est un élément important dans la théorie selon laquelle l'atmosphère des planètes et des étoiles peut comporter une grande variété de régimes quasi-périodiques et est sujette à des changements abrupts et, en apparence, aléatoires.
Les [[Flot (mathématiques)|points d'équilibre]], ou points fixes, du système sont les solutions ''(x,y,z)'' constantes du système différentiel. Il en existe au plus trois :
* le point fixe ''(0, 0, 0)'', qui existe quelles que soient les valeurs des paramètres réels <math>\sigma, \rho</math> et ''β''.
L'attracteur, dans ces cas, est une [[fractale]] de [[dimension de Hausdorff]] entre 2 et 3. Grassberger (1983) a estimé sa valeur à ''2.06 ± 0.01'' et sa [[dimension de corrélation]] à ''2.05 ± 0.01''.▼
* les deux points fixes symétriques : <math>\left( - \sqrt{\beta(\rho - 1)},-\sqrt{\beta( \rho - 1)}, \rho - 1\right)</math> et : <math>\left( \sqrt{\beta( \rho - 1)},\sqrt{\beta( \rho - 1)}, \rho - 1 \right)</math>, qui n'existent que lorsque <math> \rho > 1 </math>.
==Attracteur de Lorenz==
[[Image:Lorenz.jpg|right|thumb|200px|Attracteur étrange de Lorenz]]
▲Il est défini comme l'ensemble des trajectoires à long terme du
En effet lorsque les paramètres <math>\sigma, \rho</math> et ''β'' prennent les valeurs suivantes :<math>\sigma = 10</math>, <math>\rho = 28</math> et <math>\beta=8/3</math>, le système dynamique différentiel de Lorenz présente un [[attracteur]] étrange en forme d'ailes de papillon, représenté sur la figure ci-contre.
Pour presque toutes les [[condition initiale|conditions initiales]] (différentes de celles des points fixes), l'[[flot (mathématiques)|orbite du système]] se promène sur l'attracteur{{Citation nécessaire}}, la trajectoire commençant par s'enrouler sur une aile, puis sautant d'une aile à l'autre pour commencer à s'enrouler sur l'autre aile, et ainsi de suite, de façon apparemment erratique.
L'existence d'un [[attracteur]] étrange pour certaines valeurs des paramètres a été conjecturée par Edward Lorenz dès 1963 sur la base de simulations numériques. Il a cependant fallu attendre{{Citation nécessaire}} 2001 pour avoir une démonstration rigoureuse de ce fait par Warwick Tucker (voir aussi les travaux de Guckenheimer et Williams{{Citation nécessaire}}).
▲L'attracteur, dans ces cas, est une [[fractale]] de [[dimension de Hausdorff]] comprise entre 2 et 3
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Image:Lorenz Ro28-200px.png|ρ=28
Image:Lorenz Ro15-200px.png|ρ=15</gallery>
==Notes et références==
<references/>
==Voir aussi==
{{commonscat|Lorenz attractors|l'attracteur de Lorenz}}
* [[Attracteur]]
* [[Attracteur de Rössler]]
* [[Théorie du chaos]]▼
* [[Fractale]]
* [[Système dynamique]]/[[Théorie des systèmes dynamiques]]
▲* [[Théorie du chaos]]
* [[Météorologie]]
==Liens externes==
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== Bibliographie ==
* <span id="Lorenz 1963">{{Article
| langue =en
| prénom1 =Edward N.
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| url texte =http://journals.ametsoc.org/doi/pdf/10.1175/1520-0469%281963%29020%3C0130%3ADNF%3E2.0.CO%3B2
| consulté le =4 octobre 2010
}}</span>
* {{article|langue=en|prénom1=W.|nom1=Tucker|titre=A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem|journal=Found. Comp. Math.|volume=2|année=2002|pages=53–117|lire en ligne=http://www.math.uu.se/~warwick/main/rodes.html}}.
{{Portail|analyse|sciences|physique}}
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[[Catégorie:Système|Dynamique]]
[[Catégorie:Fractale]]
[[Catégorie:Système dynamique remarquable|Lorenz]]
[[ar:جاذب لورينتز]]
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