« Théorème de Cauchy-Lipschitz » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
Annulation des modifications 83900153 de 41.216.58.65 (d) bac à sable |
échange de deux paragraphes : le lien avec le déterminisme avant les points techniques ; style |
||
Ligne 1 :
{{Voir homonymes|Théorème de Cauchy}}
[[Image:Augustin Louis Cauchy.JPG|thumb|upright=1.2|[[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] développe une première version du théorème de l'article.]]
En [[mathématiques]], et plus précisément en [[analyse (mathématiques)|analyse]], le [[théorème]] dit de '''Cauchy-Lipschitz''', (ou ''de Picard–Lindelöf'' chez les anglophones) concerne les solutions d'une [[équation différentielle
Certaines lois physiques, comme le [[principe fondamental de la dynamique]], se traduisent par des équations différentielles vérifiant les hypothèses du théorème.
Selon les auteurs, ce théorème s'exprime de manière plus ou moins forte. Sous une forme plus élaborée, ce théorème assure que la solution varie continûment si la condition initiale est modifiée, et il en est de même si la fonction définissant l'équation dépend continûment d'un paramètre. Si l'équation est définie par une fonction de [[Classe de régularité|classe]] ''C<sup>p</sup>'', la solution est de classe ''C<sup>p+1</sup>''<ref group="Note">Ceci n'est vrai que si l'équation est explicite, c'est-à-dire si elle est donnée sous la forme ''x' ''= ''f'' (''t'', ''x''). Sous une forme implicite comme ''f'' (''t'', ''x'', ''x''' ) = 0, ce résultat tombe en défaut.</ref>. Ce théorème peut encore être généralisé au cas où l'équation différentielle n'est plus à valeurs dans un espace vectoriel, mais dans une [[variété différentielle]]<ref group="Note">Cet aspect n'est pas traité dans cet article</ref>.▼
▲Selon les auteurs,
▲Certaines lois physiques, comme le [[principe fondamental de la dynamique]], se traduisent par des équations différentielles vérifiant les hypothèses du théorème. Il assure alors le caractère déterministe du mécanisme décrit par la loi. Ce déterminisme ne se traduit pas toujours par une possibilité de prédiction, la [[théorie du chaos]] montre l'existence de possibles phénomènes fortuits<ref group="Note">Ou, plus précisément, impossibles à prévoir compte tenu d'imprécisions inévitables dans les mesures, et du phénomène de [[Théorie du chaos#Sensibilit.C3.A9 aux conditions initiales|sensibilité aux conditions initiales]]</ref>.
Une première version est démontrée par [[Augustin-Louis Cauchy]] durant la première moitié du XIX{{e}} siècle, à l'aide d'une technique d'approximation découverte par [[Leonhard Euler]] au siècle précédent. [[Rudolf Lipschitz]] généralise l'énoncé en élargissant un peu la classe des équations qui s'y rapportent. Le théorème n'en reste pas moins uniquement un résultat d'existence locale. C'est à la fin de ce siècle que les techniques de démonstration, ainsi que l'énoncé du théorème, sont profondément modifiés. À la suite des travaux de [[Lazarus Fuchs]], les mathématiciens [[Émile Picard]], [[Paul Painlevé]] et [[Henri Poincaré]] développent une version moderne de l'analyse des équations différentielles. Cette vision permet d'apporter des éléments de réponse sur les solutions maximales, l'unicité et la régularité de la solution. Une version relativement moderne est publiée en 1894 par [[Ernst Lindelöf]]. Le théorème se démontre maintenant généralement à l'aide d'un [[fonction contractante|théorème du point fixe]] et d'une approche [[topologie|topologique]], classique en [[Analyse fonctionnelle (mathématiques)|analyse fonctionnelle]].
| |||