« Anneau des entiers de Q(√5) » : différence entre les versions
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→Propriété associée à la démonstration du dernier théorème de Fermat : explication du principe de la preuve |
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Sous cette hypothèse, les différents facteurs premiers de ''d'', ou leurs carrés dans le cas de facteurs de la forme 5n+2 ou 5n-2, correspondent bien à des normes d'éléments de '''Z'''[ω]. En appliquant la propriété de multiplicativité, on fabrique par multiplication des éléments de la norme cherchée (le signe étant ajusté à partir des solutions trouvées lorsque ''d''=1 ou ''d''=-1).
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{{Article détaillé|Démonstrations du dernier théorème de Fermat}}
En juillet [[1825 en science|1825]], [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Gustav Lejeune Dirichlet]], alors à Paris, présenta devant l'[[Académie des sciences (France)|Académie des sciences]] une preuve du théorème, sous l'hypothèse supplémentaire que l'un des ''x'', ''y'', ''z'' était divisible par 10. [[Adrien-Marie Legendre]], rapporteur du mémoire de Dirichlet à l'Académie, compléta la démonstration quelques mois plus tard, Dirichlet en donnant une nouvelle version, suivant les principes de sa propre preuve, en novembre 1825<ref>{{harvsp|Edwards|1977|p=66, 70}}
{{,}}<ref>{{harvsp|Ribenboim|2000| p=45}}.</ref>. C'est dans cette preuve que Dirichlet utilise les propriétés de nombres de la forme ''a''+''b''{{racine|5}}, avec ''a'' et ''b'' entiers, ou, dans le supplément de novembre, tels que ''2a'' et ''2b'' soient entiers (autrement dits des éléments de Z[[ω]]).
{{,}}<ref>{{ouvrage |langue=en| auteur = [[Paulo Ribenboim|Ribenboim P]] | année = 2000 | titre = Fermat's Last Theorem for Amateurs | éditeur = Springer-Verlag | lieu = New York | isbn = 978-0-387-98508-4}} p 45</ref>.▼
Le principe de la preuve est le suivant<ref>{{harvsp|Edwards|1977|p=65-73}}.</ref> :
On suppose d'abord qu'
Admettons alors que dans ce cas, on puisse trouver ''A'' et ''B'' tels que ''P''+''Q''{{racine|5}}=(''A''+''B''{{racine|5}})<sup>5</sup>. Ceci est précisément le point de la preuve où on utilise les propriétés des nombres de la forme ''a''+''b''{{racine|5}}.
On trouve que ''A''et ''B'' sont tels que ''A''<sup>4</sup> + 10''AB''<sup>2</sup>+5''B''<sup>4</sup> est une puissance cinquième. On peut réappliquer le même argument et on fabrique alors de nouveaux entiers ''A'''et ''B''' (plus petits que ''A''et ''B'') vérifiant la même propriété. En réitérant, on obtient une suite infinie strictement décroissante d'entiers positifs vérifiant cette propriété, ce qui est impossible (c'est l'argument dit de « descente infinie »). On a donc une contradiction, ce qui achève la preuve dans ce cas.
Dans l'autre situation, où 5 divise l'un des ''u'', ''v'', ''w'' de l'équation de Fermat, et 2 un autre, on pose ''u+v=5r'' et ''u-v=q'', des transformations algébriques analogues aux précédentes aboutissent au fait qu'une certaine expression ''(P/2)''<sup>2</sup> -5''(Q/2)''<sup>2</sup>, pour des ''P'' et ''Q'' entiers,est une puissance cinquième et on exprime alors ''(P/2)''+''(Q/2)''{{racine|5}} comme (''(A/2)''+''(B/2)''{{racine|5}})<sup>5</sup>, avec ''A'' et ''B'' entiers (autrement dit, on se place dans l'anneau. La preuve s'achève comme le cas précédent.
La même démonstration permet d'ailleurs de montrer que d'autres équations du cinquième degré, proches de celles de Fermat, sont aussi impossibles.
Le ressort de la démonstration est donc la possibilité de montrer que : si ''a'' et ''b'' sont deux entiers relatifs différents de zéro, premiers entre eux, de parités différentes, tel que 5 divise ''b'' et ''a''<sup>2</sup> - 5.''b''<sup>2</sup> soit une puissance cinquième, alors il existe deux entiers différents de zéro ''c'' et ''d'' premiers entre eux, de parités différentes tel que 5 ne divise pas ''c'' et
<center><math> a+b \sqrt{5}=(c+d\sqrt{5})^5, </math></center>
ce qui s'établit facilement à l'aide de l'étude des unités et des éléments irréductibles de .
{{Démonstration/début}}
''1. il existe quatre entiers relatifs ''m'', ''n'', ''t'', ''u'' tel que ''a'' + ''b''.{{racine|5}} = 1/2.(''t'' + ''u''.{{racine|5}}).[1/2.(''m'' + ''n''.{{racine|5}})] <sup>5</sup> où 1/2.(''t'' + ''u''.{{racine|5}}) est une unité et 1/2.(''m'' + ''n''.{{racine|5}}) est un entier de Dirichlet (donc ''m'' et ''n'' ont même parité).''
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{{Démonstration/fin}}
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== Voir aussi ==
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