« Anneau des entiers de Q(√5) » : différence entre les versions
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== Dernier théorème de Fermat pour l'exposant 5==
{{Article détaillé|Démonstrations du dernier théorème de Fermat}}
Pour l'exposant 5, le dernier théorème de Fermat énonce qu'il n'existe pas de triplet d'entiers non nuls (''x'', ''y'', ''z'') tel que ''x''<sup>5</sup> + ''y''<sup>5</sup> = ''z''<sup>5</sup>. Une étude de la parité
En juillet [[1825 en science|1825]], [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Gustav Lejeune Dirichlet]], alors à Paris, présenta devant l'[[Académie des sciences (France)|Académie des sciences]] une preuve du théorème,
{{,}}<ref>{{harvsp|Ribenboim|2000| p=45}}.</ref>. C'est dans cette preuve
Le principe de la preuve est le suivant<ref>{{harvsp|Edwards|1977|p=65-73}}.</ref> :
On
En posant ''u+v=10r'' et ''u-v=2q'', avec ''r'' et ''q'' entiers, ''q'' non divisible par 5, on voit que l'expression ''q''<sup>4</sup> + 2.5<sup>2</sup>''rq''<sup>2</sup>+5<sup>3</sup> ''r''<sup>4</sup> est une puissance cinquième. En réordonnant, cette expression peut s'écrire sous la forme ''P''<sup>2</sup> -5''Q''<sup>2</sup>, pour des ''P'' et ''Q'' entiers, ''Q'' divisible par 5.
Admettons alors que dans ce cas, on puisse trouver ''A'' et ''B'' tels que ''P''+''Q''{{racine|5}}=(''A''+''B''{{racine|5}})<sup>5</sup>. Ceci est précisément le point de la preuve où on utilise les propriétés des nombres de la forme ''a''+''b''{{racine|5}}. ▼
▲Admettons alors que
On trouve que ''A''et ''B'' sont tels que ''A''<sup>4</sup> + 10''AB''<sup>2</sup>+5''B''<sup>4</sup> est une puissance cinquième. On peut réappliquer le même argument et on fabrique alors de nouveaux entiers ''A' ''et ''B' '' (plus petits que ''A''et ''B'') vérifiant la même propriété. En réitérant, on obtient une suite infinie strictement décroissante d'entiers positifs vérifiant cette propriété, ce qui est impossible (c'est l'argument dit de « descente infinie »). On a donc une contradiction, ce qui achève la preuve dans ce cas.▼
▲On
Dans l'autre situation, où 5 divise l'un des ''u'', ''v'', ''w'' de l'équation de Fermat, et 2 un autre, on pose ''u+v=5r'' et ''u-v=q'', des transformations algébriques analogues aux précédentes aboutissent au fait qu'une certaine expression ''(P/2)''<sup>2</sup> -5''(Q/2)''<sup>2</sup>, pour des ''P'' et ''Q'' entiers,est une puissance cinquième et on exprime alors ''(P/2)''+''(Q/2)''{{racine|5}} comme (''(A/2)''+''(B/2)''{{racine|5}})<sup>5</sup>, avec ''A'' et ''B'' entiers (autrement dit, on se place dans l'anneau '''Z'''[ω]. La preuve s'achève comme le cas précédent.▼
▲
La même démonstration permet d'ailleurs de montrer que d'autres équations du cinquième degré, proches de celles de Fermat, sont aussi impossibles.▼
▲
Le ressort de la démonstration est donc la possibilité de montrer que : si ''a'' et ''b'' sont deux entiers relatifs différents de zéro, premiers entre eux, de parités différentes, tel que 5 divise ''b'' et ''a''<sup>2</sup> - 5.''b''<sup>2</sup> soit une puissance cinquième, alors il existe deux entiers différents de zéro ''c'' et ''d'' premiers entre eux, de parités différentes tel que 5 ne divise pas ''c'' et ▼
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<center><math> a+b \sqrt{5}=(c+d\sqrt{5})^5. </math></center>
Comme on l'a vu à l'occasion de l'étude de l'équation de Pell-Fermat, ''a''<sup>2</sup> - 5.''b''<sup>2</sup> est, à un changement de variable près, une norme d'un élément de '''Z'''[ω]. Le résultat à établir est donc que si la norme d'un élément de '''Z'''[ω] est une puissance cinquième, c'est aussi vrai de l'élément lui-même, sous certaines conditions de parité et divisibilité sur les coefficients du nombre. Ceci résulte directement de l'étude des unités et des éléments irréductibles de '''Z'''[ω].
{{Démonstration/début}}
''1. il existe quatre entiers relatifs ''m'', ''n'', ''t'', ''u'' tel que ''a'' + ''b''.{{racine|5}} = 1/2.(''t'' + ''u''.{{racine|5}}).[1/2.(''m'' + ''n''.{{racine|5}})] <sup>5</sup> où 1/2.(''t'' + ''u''.{{racine|5}}) est une unité et 1/2.(''m'' + ''n''.{{racine|5}}) est un élément de '''Z'''[ω] (donc ''m'' et ''n'' ont même parité).''
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