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En [[mathématiques]], une [[série (mathématiques)|série]] est dite '''convergente''' si la suite de ses sommes partielles a une [[limite]] dans l'espace considéré. Dans le cas contraire, elle est dite '''divergente'''.
Pour des séries numériques, ou à valeurs dans un [[espace de Banach]], il suffit de prouver la [[convergence absolue]] de la série pour montrer sa convergence, ce qui permet de se ramener à une série à termes réels positifs. Pour étudier ces dernières il existe une large variété de résultats, tous basés sur le principe de comparaison.
== Définition et propriétés générales ==
* [[règle de Cauchy]]▼
* [[règle de d'Alembert]]▼
Les séries considérées sont numériques (à termes réels ou complexes), ou vectorielles, à valeurs dans un [[espace vectoriel normé]]. On dit que la '''série''' de terme général <math>a_n</math> converge lorsque la suite <math>(A_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> des sommes partielles [[suite#Limite de suite|converge]], où pour tout entier naturel n,
* [[critère de convergence des séries alternées]]▼
:<math>A_n=\sum_{k=0}^n a_k</math>
* [[comparaison série-intégrale]]▼
Dans ce cas la '''somme de la série''' est la limite de la suite des sommes partielles
:<math>\sum_{k=0}^{+\infty} a_k = \lim_{n\to +\infty} A_n</math>
Si on modifie ''un nombre fini de termes'' d'une série, alors on ne change pas sa nature (convergence ou divergence). Bien sûr, si la série est convergente, changer ses premiers termes modifie sa somme.
=== Condition nécessaire, divergence grossière ===
Si la série <math>\sum a_n,\,n\in\mathbb{N}</math> est convergente, alors la suite <math>(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\,</math> converge vers 0 puisque
:<math>\forall n \geq 1, \qquad a_n=A_n-A_{n-1}</math>
Lorsque le terme général d'une série ne tend pas vers 0, celle-ci est dite '''trivialement''' ou '''grossièrement divergente'''.
:Exemple : <math>\sum (-1)^n,\,n\in\mathbb{N}</math> est une série ''grossièrement divergente''
En revanche, pour <math>\sum \frac{\ln n}{n},\,n\in\mathbb{N}</math>, bien que le terme général tende vers zéro, on ne peut pas trancher sans autre théorème. Par un critère de comparaison qui sera détaillé ci-dessous, on peut montrer que c'est une série divergente (cas particulier de [[série de Bertrand]]). Ce qui montre qu'il n'y a pas équivalence dans le théorème : il existe des séries divergentes, non grossièrement divergentes.
=== Convergence absolue ===
{{Détails|convergence absolue}}
La convergence absolue fournit une condition suffisante trés fréquemment utilisée de convergence pour les séries numériques. On dit que la série <math>\sum a_n</math> à termes réels ou complexes est '''[[convergence absolue|absolument convergente]]''' lorsque la série de terme général <math>|a_n|</math> ([[valeur absolue]] d'un réel ou [[module d'un nombre complexe]]) est convergente. Et dans ce cas, la série <math>\sum a_n</math> elle-même converge.
Plus généralement, si <math>\sum a_n</math> est une série à termes dans un [[espace de Banach|espace vectoriel normé complet]], on dit qu'elle est absolument convergente lorsque la série de terme général <math>\|a_n\|</math> est convergente. Et dans ce cas, la série <math>\sum a_n</math> elle-même converge.
Étudier la convergence absolue fournit ainsi une condition suffisante agréable, vu qu'on est ramené à l'étude de séries à termes positifs, pour lesquels existent de nombreux résultats spécifiques.
== Séries de réels positifs ==
Si tous les termes <math>a_n</math> sont des réels positifs, la série <math>\sum a_n</math> est dite ''à termes positifs''. Pour une telle série, la suite des sommes partielles <math>(A_n)\,</math> est croissante. Elle est alors soit [[suite#Limite de suite|convergente]], soit divergente de limite infinie.
=== Principe général : règles de comparaison ===
Il est possible d'énoncer une '''règle de comparaison ''' entre deux séries à termes positifs sur laquelle se basent les autres règles d'étude.
Si les séries ont des terme généraux <math>a_n</math> et <math> b_n</math> positifs, avec en outre pour tout ''n'', <math>a_n\,\le b_n</math>,
* si la série de terme général <math>b_n</math> est convergente, la série de terme général <math> b_n</math> converge ;
* si la série de terme général <math>a_n</math> est divergente, celle de terme général <math> b_n</math> diverge aussi.
Bien sûr effectuer la comparaison à partir d'un certain rang suffit.
On peut utiliser les relations de comparaison classiques entre suites (avec les [[notation de Landau|notations de Landau]]) : si les termes généraux <math>a_n</math> et <math>b_n</math> sont positifs,
*si <math>a_n\sim b_n</math> alors les séries <math>\sum a_n</math> et <math>\sum b_n</math> sont de même nature (règle des équivalents)
* si la suite <math>a_n</math> est dominée par <math>b_n</math> (<math>a_n=O(b_n)</math>) et si <math>\sum b_n</math> converge, alors <math>\sum a_n</math> aussi
* le même résultat vaut pour la négligeabilité <math>a_n=o(b_n)</math>
Ces critères ne peuvent être appliqués qu'à des séries à termes positifs. Par exemple les séries de term général
:<math>u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt n} \qquad v_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt n} +\frac1n\sim u_n</math>
sont, la première, convergente, et la seconde divergente.
=== Règles de convergence pour les séries à termes positifs ===
Chacune de ces règles utilise le principe de comparaison précédent et est détailléé dans 'article correspondant.
Soit <math>\sum u_n</math> une série à termes strictement positifs pour laquelle le rapport <math>\frac {u_{n+1}}{u_n}</math> tend vers une limite <math>L</math> . Dans ces conditions la série : converge si <math>L < 1\,</math> ; diverge si <math>L > 1\,</math> ; si <math>L = 1\,</math> on ne peut pas conclure.
Il existe une [[règle de Raabe-Duhamel]] pour pousser l'étude plus loin dans le cas douteux (''L=1'').
Si les termes <math>a_n\,</math> sont strictement positifs et s'il existe une constante <math>C < 1\,</math> telle que <math>(a_n)^{\frac{1}{n}} \le C</math> , alors <math>\sum a_n</math> est convergente.
▲*'''Règle de [[comparaison série-intégrale]]'''
Si <math>f\,</math> est une fonction positive [[fonction monotone|décroissante]] continue sur l'[[intervalle (mathématiques)|intervalle]] <math>[1, \infty[</math>, alors la série <math>\sum f(n)</math> et l'[[intégrale]] <math>\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx</math> sont de même nature, c'est-à-dire que la série est convergente si et seulement si l'intégrale est convergente.
== Autres méthodes ==
=== Critère de Cauchy ===
=== Règle de Leibniz pour les séries alternées ===
=== Théorème d'Abel ===
{{Mathématiques}}
[[Catégorie:Série|Convergente]]
[[de:Konvergenzkriterium]]
[[en:Convergent series]]
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