On souhaite estimer une quantité G, qui s'exprime sous la forme d'une intégrale :
On considère ici une intégration en dimension 1, mais on peut généraliser à une dimension quelconque.
Le principe de base des méthodes de Monte-Carlo est de voir l'intégrale précédente comme
où X est une variable aléatoire uniformément distribuée sur [a ; b] et sa densité.
Si on dispose d'un échantillon , indépendant et identiquement distribué (i.i.d.) selon , on peut estimer G par :
Il s'agit d'un estimateur de G non-biaisé (c'est-à-dire que ) et consistant (d'après la loi des grands nombres). Sa variance est :
avec la variance de la variable aléatoire
L'erreur commise est alors une valeur aléatoire, suivant approximativement une loi normale centrée et de variance .
L'idée principale de la stratification est de calculer l'intégrale sur une partition de l'intervalle [a ; b], qu'on précisera plus tard :
Ainsi, l'intégrale se réécrit comme une somme de probabilités conditionnelles :
En supposant que chaque loi conditionnelle de X soit simulable, et que chaque valeur soit connue, on peut donc calculer chaque sous-intégrale par une méthode de Monte-Carlo à Nk tirages, soit :
On a ainsi une erreur égale à
Pour de grands tirages, chaque terme de l'erreur peut être approchée par une loi normale centrée. En observant que :
on peut en déduire que la variance de l'erreur approche .
Il suffit de vérifier qu'on a bien l'inégalité pour conclure à l'efficacité de la technique de réduction de la variance.
L'objectif est de réduire le nombre de tirages .
Une méthode simple est la stratification uniforme, réalisée en s'assurant que .
On peut également chercher à optimiser la stratification en minimisant la variance conditionnelle. Une étude de la variance montre qu'elle atteint son minimum pour
soit un minimum égal à