Suite arithmético-géométrique

En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.

Définition

On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite (u_n)_{n ∈ ℕ} à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante :

$\forall n\in \mathbb {N} ,~u_{n+1}=a\,u_{n}+b$.

Remarque

On peut toujours ramener l'étude d'une suite (u_n)_{n ≥ n0} à celle d'une suite (v_p)_{p ∈ ℕ} en posant v_p = u_{n0 + p}. La suite (u_n) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout n ≥ n₀ si et seulement si la suite (v_p)_{p ∈ ℕ} est arithmético-géométrique.

Terme général

Cas où a = 1

Pour le cas a = 1, on a affaire à une suite arithmétique, donc

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=u_{0}+nb$.

Cas où a ≠ 1

En posant

$r={\frac {b}{1-a}}$,

on a :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=a^{n}(u_{0}-r)+r$

(y compris si a et n sont nuls, avec la convention 0⁰ = 1).

Démonstration

On cherche d'abord le point fixe, c'est-à-dire, le r tel que f(r) = r avec f la fonction x ↦ ax + b associée à la suite :

$ar+b=r\Leftrightarrow r=b/(1-a)$.

Puis on définit une suite translatée :

$v_{n}=u_{n}-r$.

La relation u_{n + 1} = au_n + b se traduit alors par v_{n + 1} + r = a(v_n + r) + b donc

$v_{n+1}=av_{n}+ar+b-r=av_{n}$.

La suite (v_n) est donc géométrique de raison a. Par conséquent,

$u_{n}=v_{n}+r=a^{n}v_{0}+r=a^{n}(u_{0}-r)+r$.

D'après la remarque qui suit la définition, on en déduit que, plus généralement :

$\forall p\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq p,~u_{n}=a^{n-p}(u_{p}-r)+r$.

Somme des premiers termes

Si a ≠ 1, toujours en posant r = b/(1 – a), la somme des n premiers termes (de 0 à n – 1) est :

$S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}=(u_{0}-r){\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}+nr$.

Démonstration

D'après l'expression du terme général de la section précédente et celle de la somme des premiers termes d'une suite géométrique,

${\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}&=\sum _{k=0}^{n-1}\left(a^{k}(u_{0}-r)+r\right)\\&=(u_{0}-r)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}\right)+nr\\&=(u_{0}-r){\frac {1-a^{n}}{1-a}}+nr.\end{aligned}}$

On en déduit n'importe quelle somme de termes consécutifs : sous les mêmes hypothèses, pour n > p,

$\sum _{k=p}^{n-1}u_{k}=S_{n}-S_{p}=(u_{p}-r){\dfrac {a^{p}-a^{n}}{1-a}}+(n-p)r$.

Convergence

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de a et, éventuellement, le signe de u₀ – r (si a ≠ 1 et r = b/(1 – a)).

Dans le cas où |a| < 1, la limite de la suite est r quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

Utilisation

Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle).

Exemple : apport de 10 et fuite de 5 % :

$u_{n+1}=u_{n}+10-0{,}05\,u_{n}$.

Elles se rencontrent aussi dans les plans de remboursement : un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités M conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si R_n représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite (R_n) est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence :

$R_{n+1}=(1+t)\,R_{n}-M$.

On les trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états. La matrice stochastique est alors :

${\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}$.

De la relation

$(p_{n+1},q_{n+1})=(p_{n},q_{n}){\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}$

on déduit que :

$p_{n+1}=ap_{n}+(1-b)q_{n}$.

Comme d'autre part

$q_{n}=1-p_{n}$,

en remplaçant on obtient :

$p_{n+1}=(a+b-1)p_{n}+1-b$.

Voir aussi

• Suite arithmétique
• Suite géométrique