Surface de Peano
En mathématiques, la surface de Peano est une surface quartique, le graphe de la fonction de deux variables
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/Modell_einer_Peanoschen_Fl%C3%A4che_-Schilling_XLIX%2C_1-.jpg/260px-Modell_einer_Peanoschen_Fl%C3%A4che_-Schilling_XLIX%2C_1-.jpg)
Elle a été proposée par Giuseppe Peano en 1899 comme contre-exemple à un critère conjecturé pour l'existence de maxima et de minima de fonctions de deux variables[1],[2].
Description
modifierLa surface a été nommée surface de Peano (en allemand : Peanosche Fläche) par Georg Scheffers dans son livre de 1920 intitulé Lehrbuch der darstellenden Geometrie[1],[3]. Elle a également été appelée le col ou selle de Peano[4],[5].
La fonction représentée graphiquement par cette surface est positive entre les deux paraboles et et négative ailleurs. À l'origine, au point tridimensionnel de la surface qui correspond au point d'intersection des deux paraboles, la surface a un point selle[6]. La surface elle-même a une courbure de Gauss positive dans certaines parties et une courbure négative dans d'autres, séparées par une autre parabole[4],[5], ce qui implique que son application de Gauss a une cuspide de Whitney.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Peano_intersection.png/220px-Peano_intersection.png)
Chaque fois que la surface est intersectée par un plan vertical passant par l'origine, la courbe résultante dans le plan d'intersection a un maximum local en ce point[1]. En termes plus paradoxaux, si on déplace un point de l'origine sur une ligne droite quelconque, la fonction diminue au début du déplacement ; néanmoins, le point n'est pas un maximum local de la fonction, car se déplacer le long d'une parabole comme entraîne une croissance de cette fonction.
La courbe comme contre-exemple
modifierEn 1886, Joseph-Alfred Serret publie un manuel[7] contenant une proposition de critère pour les points extrémaux d'une surface donnée par :
- « Le maximum ou le minimum a lieu lorsque, pour les valeurs de et qui annulent et (les troisième et quatrième termes), (le cinquième terme) a constamment le signe -, ou le signe +. »
Ici, on suppose que les termes linéaires s'annulent et que la série de Taylor de a la forme
- ,
où est une forme quadratique comme , est une forme cubique avec des termes cubiques en et , et est une forme quartique avec un polynôme quartique homogène en et . Serret suggère que si a un signe constant pour tous les points où , alors la surface a un maximum ou un minimum local en . Dans ses notes de 1884 au manuel italien d'Angelo Genocchi sur le calcul infinitésimal : Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, Peano avait déjà fourni différentes conditions correctes pour qu'une fonction ait un minimum local ou un maximum local[1],[8]. Dans la traduction allemande de 1899 du même manuel, il a fourni cette surface comme contre-exemple à la condition de Serret. Au point , les conditions de Serret sont satisfaites, mais ce point est un point col et pas un maximum local[2]. Une condition proche de celle de Serret a également été critiquée par Ludwig Scheeffer (de), qui a utilisé la surface de Peano comme contre-exemple dans une publication de 1890, attribuée à Peano[6],[9].
Maquettes de la surface
modifierDes maquettes de la surface de Peano figurent dans la collection de modèles et d'instruments mathématiques à l'Université de Göttingen[10] et dans la collection de modèles mathématiques de l'Université technique de Dresde (deux modèles différents)[11]. La maquette de Göttingen a été le premier modèle à être ajouté à la collection après la Première Guerre mondiale, et l'un des derniers à être ajoutés à la collection dans son ensemble[6].
Notes et références
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Peano surface » (voir la liste des auteurs).
- Emch, « A model for the Peano Surface », American Mathematical Monthly, vol. 29, no 10, , p. 388–391 (DOI 10.1080/00029890.1922.11986180, JSTOR 2299024, MR 1520111, lire en ligne).
- Angelo Genocchi, Differentialrechnung und Grundzüge der Integralrechnung, B.G. Teubner, (lire en ligne), p. 332.
- Georg Scheffers, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, vol. II, , « 427 : Die Peanosche Fläche », p. 261–263.
- S. N. Krivoshapko et V. N. Ivanov, Encyclopedia of Analytical Surfaces, Springer, (DOI 10.1007/978-3-319-11773-7_33), « Saddle Surfaces », p. 561–565 — En particulier section Peano Saddle, p. 562–563.
- (en) George K. Francis, A Topological Picturebook, New York/Berlin/Paris etc., Springer-Verlag, New York, , 194 p. (ISBN 0-387-96426-6, MR 880519), p. 88.
- Gerd Fischer (éditeur), Mathematical Models : From the Collections of Universities and Museums – Photograph Volume and Commentary, , 2e éd. (DOI 10.1007/978-3-658-18865-8) — En particulier la préface (p. xiii) à l'histoire du modèle de Göttingen, Photo 122 "Penosche Fläsche" (p. 119).
- J. A. Serret, Cours de calcul différentiel et intégral, vol. 1, Paris, 3d, (lire en ligne), p. 216
- Angelo Genocchi, Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale, , « Massimi e minimi delle funzioni di più variabili », p. 195–203.
- (de) Scheeffer, « Theorie der Maxima und Minima einer Function von zwei Variabeln », Mathematische Annalen, vol. 35, no 4, , p. 541–576 (DOI 10.1007/bf02122660, lire en ligne) En particulier p. 545–546.
- « Peano Surface », Göttingen Collection of Mathematical Models and Instruments, Université de Göttingen (consulté le ).
- modèle 39, "Peanosche Fläche, geschichtet" et modèle 40, "Peanosche Fläche", Mathematische Modelle, TU Dresden, retrieved 2020-07-13