Tapis de Sierpiński

Le tapis de Sierpiński ou la carpette de Sierpiński (1916), du nom de Wacław Sierpiński, est une fractale obtenue à partir d'un carré. Le tapis se fabrique en découpant le carré en neuf carrés égaux avec une grille de trois par trois, et en supprimant la pièce centrale, puis en appliquant cette procédure indéfiniment aux huit carrés restants.

Construction animée du tapis de Sierpiński jusqu'à 6 itérations.

La dimension fractale ou dimension de Hausdorff du tapis est égale à ${\frac {\ln 8}{\ln 3}}=1{,}892789...$, car à chaque étape on construit 8 répliques de la figure précédente, chacune étant sa réduction par 3 (voir  A113210).

La surface du tapis est nulle de mesure de Lebesgue : à l'infini, la surface du carré est intégralement « vidée » .

C'est une généralisation de l'ensemble de Cantor à la dimension 2. Des généralisations en dimensions supérieures sont possibles, et des fractales peuvent être obtenues dans un cube (on l'appelle alors éponge de Menger ou éponge de Menger-Sierpiński) ou dans un (hyper-)cube en dimension supérieure N.

Calcul de l'aire du tapis de Sierpiński

En notant $x$ la longueur du côté du carré et $n$ l'ordre de la construction, la formule suivante donne l'aire du tapis :

$\left({\frac {x}{3^{n}}}\right)^{2}\times 8^{n}=x^{2}\times \left({\frac {8}{9}}\right)^{n}$

Par exemple, un carré de 100 mètres de côté à l'ordre 2 donne un tapis d'aire

$\left({\frac {100}{3^{2}}}\right)^{2}\times 8^{2}={\frac {100^{2}}{9^{2}}}\times 64={\frac {640000}{81}}\approx 7901,23$ m².

Plus l'ordre augmente, plus la surface diminue et tends vers zéro à l'infini.

• Étapes de construction du tapis de Sierpiński
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  ordre 0
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  ordre 1
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  ordre 2
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  ordre 3
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  ordre 4
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  ordre 5
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  ordre 6

Image par une inversion

On peut construire l'image du tapis de Sierpiński par une inversion dont le centre est l'isobarycentre de la fractale. On obtient un résultat semblable au suivant pour la cinquième itération :

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  Image par une inversion du tapis de Sierpiński.
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  Détails de l'image précédente.

Voir aussi

Articles connexes

• Triangle de Sierpiński
• Liste de fractales par dimension de Hausdorff

Liens externes

• Projet du tapis de Sierpiński
• Robert Ferréol, « Carré de Sierpinski et variantes », sur Encyclopédie des formes mathématiques remarquables