Théorème d'Alasia

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Le théorème d'Alasia (it) concerne la géométrie du triangle. Il met en relation les côtés d'un triangles et ses point de Brocard. Il s'énonce comme suit^[1]:

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Soient $\Omega$ , $\Omega '$ les points de Brocard du triangle $ABC$ ,
$(\Omega \Omega ')/\!/(AB)\Longleftrightarrow BC=AC$ .

Démonstration

En notant respectivement $a,b,c$ les longueurs $BC,AC,AB$ , les points $\Omega ,\Omega '$ ont alors pour coordonnées barycentriques ${\textstyle \left({\frac {1}{b^{2}}};{\frac {1}{c^{2}}};{\frac {1}{a^{2}}}\right)}$ et ${\textstyle \left({\frac {1}{c^{2}}};{\frac {1}{a^{2}}};{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$ respectivement. Ainsi, ${\textstyle {\vec {\Omega \Omega '}}}$ est colinéaire à $b^{2}(c^{2}-a^{2}){\vec {AB}}+c^{2}(a^{2}-b^{2}){\vec {AC}}$ .

Si $a=b$ alors ${\textstyle {\vec {\Omega \Omega '}}}$ est colinéaire à $b^{2}(c^{2}-a^{2}){\vec {AB}}$ . Donc ${\textstyle (\Omega \Omega ')}$ est parallèle à $(AB)$ . Réciproquement si ${\textstyle (\Omega \Omega ')}$ est parallèle à $(AB)$ , comme ${\textstyle {\vec {\Omega \Omega '}}}$ est colinéaire à $b^{2}(c^{2}-a^{2}){\vec {AB}}+c^{2}(a^{2}-b^{2}){\vec {AC}}$ , on a $c^{2}(a^{2}-b^{2}){\vec {AC}}={\vec {0}}$ donc $a=b$ ^[2].