Théorème d'Erdős-Kaplansky

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, on sait qu'un espace vectoriel E de dimension finie est isomorphe à son dual. En revanche, si E est de dimension infinie, il n'est jamais isomorphe à son dual. Cela résulte du théorème d'Erdős-Kaplansky suivant :

Théorème — Soit E un espace vectoriel de dimension infinie sur un corps K avec une base indexée par un ensemble I. Alors l'espace dual E* de E est de dimension :

${\rm {dim}}(E^{*})={\rm {card}}(K^{I})~.$

En remarquant que card(E*) est, lui aussi, égal à card (K^I), on peut encore reformuler le théorème ainsi :

Soit E un espace vectoriel de dimension infinie. Alors la dimension et le cardinal de son espace dual sont égaux, c'est-à-dire dim (E*) = card (E*).

Plan de démonstration

(Pour une démonstration détaillée, voir par exemple le lien externe ci-dessous). On utilisera l'axiome du choix (nécessaire d'emblée pour parler de dimension) et les propriétés des cardinaux vis-à-vis des opérations ensemblistes.

• On montre d'abord que E est isomorphe à l'anneau de polynômes $K[(X_{i})_{i\in I}]$, autrement dit, que la dimension (d'espace vectoriel) de cet anneau est non seulement, bien sûr, minorée par card(I), mais en fait, égale à ce cardinal. En effet, cet anneau est la réunion des $K[(X_{i})_{i\in J}]$ quand J parcourt l'ensemble ${\mathfrak {F}}(I)$ des parties finies de I, or chacun de ces sous-espaces est de dimension dénombrable, donc la dimension de leur réunion est majorée par ${\rm {card}}({\mathfrak {F}}(I)\times \mathbb {N} )={\rm {card}}(I)$.
• On en déduit que le dual de E est isomorphe à celui de $K[(X_{i})_{i\in I}]$. Or la dimension de ce dernier est minorée par card(K^I), car il contient une famille libre de formes linéaires indexée par K^I : la famille des applications d'évaluation f_a en chaque élément a = (a_i )_i de K^I, chacune étant définie par : f_a(P)=P(a).
• Par ailleurs, directement, E* est isomorphe à K^I (donc a même cardinal) et d'autre part, E* est de dimension inférieure ou égale à son cardinal (comme tout espace vectoriel).
• Finalement, ${\rm {card}}(E^{*})={\rm {card}}(K^{I})\leq {\rm {dim}}(E^{*})\leq {\rm {card}}(E^{*})\ ,$ce qui prouve le théorème.
• Par conséquent E n'est pas isomorphe à son dual, puisqu'il est de dimension strictement moindre, par le théorème de Cantor.

Bibliographie

• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre Chapitre II (ISBN 9783540338499) page A.II.193
• B. Gostiaux, Cours de mathématiques spéciales, volume 1 : Algèbre (ISBN 9782130458357) 6.113 page 221
• Théorème d'Erdös-Kaplansky Démonstration du théorème d'Erdős-Kaplansky et du corollaire sur la non-isomorphie d'un espace vectoriel de dimension infinie et de son espace dual.
• (en) N. Jacobson, Lectures in Abstract Algebra, vol. II, Linear Algebra, van Nostrand Company (1953) Chapter IX, § 5