Théorème de Battle-Harary-Kodama
Le théorème de Battle-Harary-Kodama est un théorème mathématique de la théorie topologique des graphes et qui doit son intitulé à une publication des mathématiciens Joseph Battle, Frank Harary et Yukihiro Kodama de l’année 1962[1]. Le théorème est une réponse à une question sur la planarité de certains graphes simples et de leur graphe complémentaire et résout une conjecture de John L. Selfridge. Une démonstration plus simple a été donnée un peu plus tard, en 1963, par William Tutte[2].
Énoncé modifier
L'énoncé est le suivant[3] :
Théorème — Si un graphe simple planaire a au moins 9 sommets, alors son graphe complémentaire[4] n'est pas planaire ; de plus, le nombre 9 est le plus petit entier naturel avec cette propriété.
Énoncé voisin modifier
Un énoncé voisin, donné par Dennis P. Geller[5], traite la question de la « planarité extérieure » : un graphe est planaire extérieur s'il admet une représentation plane dans laquelle les sommets se trouvent tous sur le bord de la face extérieure[6]. Le théorème de Geller s'énonce comme suit :
Théorème — Si un graphe simple est planaire extérieur et a au moins 7 sommets, alors son graphe complémentaire n'est pas planaire extérieur; de plus, le nombre 7 est le plus petit entier naturel avec cette propriété.
Bibliographie modifier
- Joseph Battle, Frank Harary et Yukihiro Kodama, « Every planar graph with nine points has a nonplanar complement », Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), vol. 68, , p. 569–571 (MR 0155314, lire en ligne)
- Frank Harary, Graph Theory, Addison-Wesley, (SUDOC 014230593)
- William T. Tutte, « The non-biplanar character of the complete 9-graph », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 6, , p. 319–319 (lire en ligne)
Notes et références modifier
- Battle, Harary et Kodama 1962.
- Tutte 1963.
- Harary 1969, Théorème 11.11.
- Le graphe complémentaire a pour ensemble d'arêtes l'ensemble complémentaire de l'ensemble des arêtes de .
- Harary 1969, Théorème 11.12.
- Harary 1969, p. 106.
