Théorème de Coppel

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, le théorème de Coppel, publié en 1955, est un théorème sur la convergence des suites numériques découvert par William Coppel.

Énoncé

On considère une fonction continue $f$ définie sur un intervalle réel fermé $I=[a,b]$, et à valeurs dans ce même intervalle. On dit qu'un nombre $x$ de I est 1-périodique (pour $f$) s'il est un point fixe de $f$, c'est-à-dire si $f(x)=x$. On dit qu'il est 2-périodique s'il n'est pas un point fixe, mais que $f(f(x))=x$. Dans ce cas, $x,f(x)$ est appelé un 2-cycle. On définit de la même façon un nombre n-périodique pour $f$ et les n-cycles correspondants.

Le théorème de Coppel dit que si $f$ ne possède pas de 2-cycle, alors pour tout nombre $x$ de l'intervalle, la suite récurrente $u_{n}$, définie par $u_{0}=x$ et $u_{n+1}=f(u_{n})$ pour tout entier n, est convergente.

On remarque aisément que la réciproque est vraie, car si $f$ a un 2-cycle, $x_{0},f(x_{0})$, la suite récurrente définie par $u_{0}=x_{0}$ et $u_{n+1}=f(u_{n})$ oscille indéfiniment entre les deux valeurs $x_{0}$ et $f(x_{0})$ et donc ne converge pas.

Ce théorème est puissant car il permet de démontrer le phénomène de doublement de période de la suite logistique pour $\mu \in [3,\mu _{\infty }]$.

Voir aussi

Articles connexes

• Suite logistique
• Point périodique

Liens externes

• Daniel Perrin, « Suite logistique et chaos (vidéo de la conférence) », sur Séminaire de l'IREM de Paris, 2007-2008.