Théorème de Coppel
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, le théorème de Coppel, publié en 1955, est un théorème sur la convergence des suites numériques découvert par William Coppel[1].
Énoncé
modifierOn considère une fonction continue définie sur un intervalle réel fermé , et à valeurs dans ce même intervalle. On dit qu'un nombre de I est 1-périodique (pour ) s'il est un point fixe de , c'est-à-dire si . On dit qu'il est 2-périodique s'il n'est pas un point fixe, mais que . Dans ce cas, est appelé un 2-cycle. On définit de la même façon un nombre n-périodique pour et les n-cycles correspondants.
Le théorème de Coppel dit que si ne possède pas de 2-cycle, alors pour tout nombre de l'intervalle, la suite récurrente , définie par et pour tout entier n, est convergente.
On remarque aisément que la réciproque est vraie, car si a un 2-cycle, , la suite récurrente définie par et oscille indéfiniment entre les deux valeurs et et donc ne converge pas[2].
Ce théorème est puissant car il permet de démontrer le phénomène de doublement de période de la suite logistique pour [3],[2].
Références
modifier- (en) William Andrew Coppel, Solutions of equations by iteration, vol. 51, Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, , 41–43 p. (lire en ligne).
- Daniel Perrin, « La suite logistique et le chaos », .
- « Enregistrement de l'exposé de D.Perrin ».
Voir aussi
modifierArticles connexes
modifierLiens externes
modifier- Daniel Perrin, « Suite logistique et chaos (vidéo de la conférence) », sur Séminaire de l'IREM de Paris, 2007-2008.