Théorème de Gordan

Le théorème de Gordan donne une condition nécessaire et suffisante d'existence de solutions à un système linéaire d'inégalités strictes dans $\mathbb {R}$. C'est l'exemple le plus simple de « théorème de l'alternative ».

Théorème de Gordan (1873) — Soit $f_{1},\ldots ,f_{k}$ des formes linéaires sur un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie. Alors :

$\{y\in E\,\mid \,f_{1}(y)>0,f_{2}(y)>0,\ldots ,f_{k}(y)>0\}$ est vide

(si et) seulement si

0 appartient à l'enveloppe convexe de $\{f_{1},\ldots ,f_{k}\}$.