Théorème de Grunwald-Wang

En théorie algébrique des nombres, le théorème de Grunwald-Wang est un exemple de principe local-global, selon lequel — hormis dans certains cas précisément identifiés — un élément d'un corps de nombres K est une puissance n-ième dans K si c'est une puissance n-ième dans le complété K_p pour presque tout idéal premier p de O_K (c'est-à-dire pour tous sauf un nombre fini). Par exemple, un rationnel est le carré d'un rationnel si c'est le carré d'un nombre p-adique pour presque tout nombre premier p.

Il a été introduit par Wilhelm Grunwald (de) en 1933^[1], mais une erreur dans cette première version fut détectée et corrigée par Shianghao Wang (en) en 1948^[2].

Histoire

Some days later I was with Artin in his office when Wang appeared. He said he had a counterexample to a lemma which had been used in the proof. An hour or two later, he produced a counterexample to the theorem itself... Of course he [Artin] was astonished, as were all of us students, that a famous theorem with two published proofs, one of which we had all heard in the seminar without our noticing anything, could be wrong. — John Tate^[3]

Grunwald, un étudiant de Hasse, avait donné une « preuve » de l'énoncé erroné^[1] selon lequel un élément d'un corps de nombres serait une puissance n-ième s'il en est une localement presque partout. Whaples en avait donné une autre « preuve »^[4]. Cependant, Wang découvrit le contre-exemple suivant^[2] : 16 est une puissance 8^e p-adique pour tout premier impair p, mais n'est pas une puissance 8^e rationnelle ni 2-adique. Dans sa thèse^[5] dirigée par Artin, Wang énonça et démontra la formulation correcte de l'assertion de Grunwald, en précisant les rares cas où elle était fausse. Ce résultat est à présent connu sous le nom de théorème de Grunwald-Wang.

Contre-exemples

L'affirmation originelle de Grunwald, selon laquelle un élément qui est une puissance n-ième presque partout localement est toujours une puissance n-ième globale, peut être mise en défaut de deux façons, dont la première est le contre-exemple de Wang :

Puissance n-ième localement presque partout mais pas localement partout

Le rationnel 16 est une puissance 8^e à toutes les places sauf 2. En effet :

ce n'est pas une puissance 8^e dans les nombres 2-adiques (donc pas non plus dans les rationnels) puisque sa valuation 2-adique est 4, qui n'est pas divisible par 8 ;
dans un corps quelconque, 16 est une puissance 8^e si et seulement si le polynôme $X^{8}-16=(X^{4}-4)(X^{4}+4)=(X^{2}-2)(X^{2}+2)((X-1)^{2}+1)((X+1)^{2}+1)$ a une racine, c'est-à-dire si 2, –2 ou –1 est un carré. Soit p un nombre premier impair. Par multiplicativité du symbole de Legendre, 2, –2 ou –1 est un carré modulo p. D'après le lemme de Hensel, 2, –2 ou –1 est donc un carré dans ℚ_p.

Puissance n-ième localement partout mais pas globalement

Le nombre 16 n'est pas une puissance 8^e dans ℚ(√7). Pourtant, il en est une localement partout — c'est-à-dire dans ℚ_p(√7) pour tout p — d'après ce qui précède et l'égalité ℚ₂(√7) = ℚ₂( $\sqrt -1$ )^[6].

Une conséquence du contre-exemple de Wang

Ce contre-exemple montre qu'on ne peut pas toujours trouver une extension cyclique de degré donné, avec ramifications prescrites sur un ensemble fini de places :Il n'existe pas d'extension cyclique K/ℚ de degré 8 dans laquelle le premier 2 est totalement inerte (c'est-à-dire telle que K₂/ℚ₂ soit non ramifiée de degré 8).

Corps spéciaux

Pour tout s ≥ 2, soit $\eta _{s}:=\exp \left({\frac {2\pi {\rm {i}}}{2^{s}}}\right)+\exp \left(-{\frac {2\pi {\rm {i}}}{2^{s}}}\right)=2\cos \left({\frac {2\pi }{2^{s}}}\right).$

On peut remarquer que le corps cyclotomique d'indice 2^s est ℚ_2^s = ℚ( $i, η s$ ).

Un corps est dit s-spécial s'il contient $η s$ mais ne contient ni $i$ , ni $η s +1$ , ni $i η s +1$ .

Par exemple — puisque $η 2 = 0$ et $η 3$ = √2 — un corps est 2-spécial s'il ne contient ni $\sqrt -1$ , ni √2, ni $\sqrt -2$ .

Énoncé du théorème

Soient K un corps de nombres, n un entier naturel et S un ensemble fini de premiers de K. Posons $K(n,S):=\{x\in K\mid \forall p\notin S\quad x\in K_{p}^{n}\}.$

Le théorème de Grunwald-Wang affirme que $K(n,S)=K^{n}$ sauf dans le cas spécial, c'est-à-dire sauf si les conditions suivantes sont vraies toutes les deux :

K est s-spécial pour un s tel que 2^s+1 divise n ;
S contient l'ensemble spécial S₀ constitué des premiers p (nécessairement 2-adiques) tels que K_p est s-spécial.

De plus, dans le cas spécial, le « défaut » du principe de Hasse est fini : le noyau de $K^{\times }/n\to \prod _{p}K_{p}^{\times }/n$ n'a que deux éléments.

Explication des contre-exemples

Pour le corps ℚ, 2-spécial avec S₀ = {2}, le cas spécial a lieu lorsque n est divisible par 8 et S contient 2. Cela explique le contre-exemple de Wang et montre qu'il est minimal. On voit aussi qu'un rationnel est une puissance n-ième si c'est une puissance n-ième p-adique pour tout p^[7].

Le corps ℚ(√7) est 2-spécial aussi mais avec S₀ = ⌀, ce qui explique l'autre contre-exemple ci-dessus.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Grunwald–Wang theorem » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a et b} (de) W. Grunwald, « Ein allgemeiner Existenzsatz für algebraische Zahlkörper », J. Reine Angew. Math., vol. 169,‎ 1933, p. 103-107 (lire en ligne).
↑ ^{a et b} (en) Shianghaw Wang, « A counter-example to Grunwald's theorem », Ann. of Math. (2), vol. 49,‎ 1948, p. 1008-1009 (JSTOR 1969410).
↑ (en) Peter Roquette, The Brauer-Hasse-Noether Theorem in Historical Perspective, Springer, coll. « Schriften der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Heidelberger Akademie der Wissenschaften » (n^o 15), 2005 (ISBN 978-3-540-26968-7, lire en ligne), p. 30 (§ 5.3).
↑ (en) George Whaples, « Non-analytic class field theory and Grünwald's theorem », Duke Math. J., vol. 9, n^o 3,‎ 1942, p. 455-473 (lire en ligne).
↑ (en) Shianghaw Wang, « On Grunwald's theorem », Ann. of Math. (2), vol. 51,‎ 1950, p. 471-484 (JSTOR 1969335).
↑ (en) Emil Artin et John Tate, Class Field Theory, AMS, 2009 (1^re éd. 1967), 192 p. (ISBN 978-0-8218-6951-2, lire en ligne), chap. X (« The Grunwald-Wang Theorem »).
↑ Une preuve bien plus élémentaire est de remarquer que pour tout nombre premier p, en notant r la p-valuation de x : s'il existe un rationnel y tel que la p-valuation de x – yⁿ soit > r alors, r est égal à la p-valuation de yⁿ donc est divisible par n.

Liens externes

(en) « Proving that an integer is the $n$ th power », sur MathStackExchange
(en) « Does there exist a non-square number which is the quadratic residue of every prime? », sur MathOverflow

Arithmétique et théorie des nombres

[G33-1] {a et b} (de) W. Grunwald, « Ein allgemeiner Existenzsatz für algebraische Zahlkörper », J. Reine Angew. Math., vol. 169,‎ 1933, p. 103-107 (lire en ligne).

[W48-2] {a et b} (en) Shianghaw Wang, « A counter-example to Grunwald's theorem », Ann. of Math. (2), vol. 49,‎ 1948, p. 1008-1009 (JSTOR 1969410).

[3] (en) Peter Roquette, The Brauer-Hasse-Noether Theorem in Historical Perspective, Springer, coll. « Schriften der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Heidelberger Akademie der Wissenschaften » (n^o 15), 2005 (ISBN 978-3-540-26968-7, lire en ligne), p. 30 (§ 5.3).

[4] (en) George Whaples, « Non-analytic class field theory and Grünwald's theorem », Duke Math. J., vol. 9, n^o 3,‎ 1942, p. 455-473 (lire en ligne).

[5] (en) Shianghaw Wang, « On Grunwald's theorem », Ann. of Math. (2), vol. 51,‎ 1950, p. 471-484 (JSTOR 1969335).

[6] (en) Emil Artin et John Tate, Class Field Theory, AMS, 2009 (1^re éd. 1967), 192 p. (ISBN 978-0-8218-6951-2, lire en ligne), chap. X (« The Grunwald-Wang Theorem »).

[7] Une preuve bien plus élémentaire est de remarquer que pour tout nombre premier p, en notant r la p-valuation de x : s'il existe un rationnel y tel que la p-valuation de x – yⁿ soit > r alors, r est égal à la p-valuation de yⁿ donc est divisible par n.

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