Théorème de Hardy-Ramanujan

En mathématiques et plus précisément en théorie des nombres, le théorème de Hardy-Ramanujan, démontré par G. H. Hardy et S. Ramanujan en 1917, donne une approximation du nombre ${\textstyle \omega (n)}$ de facteurs premiers distincts d'un entier naturel $n$. Plus précisément, ce résultat énonce que la fonction ${\textstyle \ln \ln n}$ est un ordre normal de ${\textstyle \omega (n)}$, où $\ln \,n$ désigne la fonction logarithme naturel. Ce résultat peut-être interprété comme la traduction rigoureuse du fait que la plupart des entiers naturels $n$ ont environ ${\textstyle \ln \ln n}$ facteurs premiers distincts. Par exemple, le nombre de facteurs premiers d'un entier de l'ordre de un milliard ${\textstyle (10^{9})}$ est presque toujours égal à ${\textstyle \ln(\ln \,10^{9})\approx 3,03}$.

Énoncé

Étant donné un entier naturel $n$, soit $n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{r}^{a_{r}}$ sa décomposition en facteurs premiers. La fonction $\omega (n)$ est donnée par $\omega (n)=r$. Il s'agit d'une fonction arithmétique additive, autrement dit pour tous entiers naturels premiers entre eux $m$ et $n$, on a $\omega (mn)=\omega (m)+\omega (n)$. Le théorème de Hardy-Ramanujan donne une approximation pour la fonction ${\textstyle \omega (n)}$, plus précisément

Théorème (Hardy-Ramanujan) — La fonction $\ln \ln n$ est un ordre normal de la fonction $\omega (n)$. Autrement dit, pour tout réel $\varepsilon >0$,

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {{\big \vert }\lbrace n\leq x\mid \vert \omega (n)-\ln \ln n\vert >\varepsilon \ln \ln n\rbrace {\big \vert }}{x}}=0.$

Une version plus précise indique que, pour toute fonction à valeurs réelles ${\textstyle \psi (n)}$ qui tend vers l'infini lorsque $n\to \infty$, on a, pour presque tout entier naturel $n$,$${\big |}\omega (n)-\ln \ln n{\big |}<\psi (n){\sqrt {\ln \ln n}}.$$Cette relation ne cesse d'être valable que pour une proportion négligeable de nombres réels. Rigoureusement, si $g(x)$ désigne le nombre d'entiers naturels $n$ inférieurs à $x$ pour lesquels l'inégalité ci-dessus n'est pas valide, alors $g(x)/x$ converge vers zéro lorsque $x$ tend vers l'infini.

Hardy et Ramanujan démontrent également l'équivalent suivante:

$${\frac {\omega (1)+\cdots +\omega (n)}{n}}\ {\underset {n\rightarrow \infty }{\sim }}\ \ln \ln n.$$Autrement dit, la fonction ${\textstyle \ln \ln n}$ est un ordre moyen de ${\textstyle \omega (n)}$.

La fonction ${\textstyle \Omega (n)}$, qui dénombre le nombre de facteurs premiers de $n$ comptés avec multiplicité, admet des propriétés similaires à celles de $\omega (n)$.

Preuve

Une preuve plus élémentaire que la démonstration originelle de Ramanujan est donnée par Pál Turán en 1934. La mathématicien utilise une technique de crible, afin de prouver la majoration :

$$\sum _{n\leq x}|\omega (n)-\ln(\ln \,n)|^{2}\ll x\ln(\ln \,x),$$dont découle le résultat de Hardy et Ramanujan.

Généralisations

Le mathématicien Mark Kac partage à Paul Erdős son intuition selon laquelle le résultat de Hardy et Ramanujan suggèrerait que la distribution du nombre de facteurs premiers distincts d'un entier naturel est essentiellement décrite par une loi normale. Ils mettent en œuvre cette idée en démontrant en 1938 le théorème d'Erdős–Kac, qui donne une estimation de la distribution des valeurs de la fonction $\omega (n)$. Ce résultat pose les bases de la théorie probabiliste des nombres.