Théorème de James
Le théorème de James est un théorème d'analyse fonctionnelle, dû au mathématicien américain Robert C. James (de), qui donne une caractérisation géométrique de la réflexivité d'un espace de Banach X. Une généralisation est le critère de compacité de James selon lequel, pour la topologie faible, un fermé non vide A de X est compact si et seulement si, sur A, toute forme linéaire continue sur X atteint sa borne supérieure.
Énoncés modifier
L'espace X considéré peut être un ℝ- ou un ℂ-espace de Banach. Son dual topologique est noté X’. Le dual topologique du ℝ-espace de Banach déduit de X par restriction éventuelle des scalaires sera noté X’ℝ. (Il n'a d'intérêt que si X est un ℂ-espace car si X est un ℝ-espace alors X’ℝ = X’.)
Critère de compacité de James[1] — Soient X un espace de Banach et A une partie non vide faiblement fermée de X. Les conditions suivantes sont équivalentes :
- A est faiblement compact.
- Pour tout f ∈ X’, il existe un élément a de A tel que f(a) = sup { |f(x)| ; x ∈ A }.
- Pour tout f ∈ X’ℝ, il existe un élément a de A tel que f(a) = sup { |f(x)| ; x ∈ A }.
- Pour tout f ∈ X’ℝ, il existe un élément a de A tel que f(a) = sup { f(x) ; x ∈ A }.
Un espace de Banach étant réflexif si et seulement si sa boule unité fermée est faiblement compacte on en déduit, puisque la norme d'une forme linéaire continue est la borne supérieure de son module sur cette boule :
Théorème de James[2] — Un espace de Banach X est réflexif si et seulement si pour tout f ∈ X’, il existe un élément a de X tel que ║a║ ≤ 1 et f(a) = ║f║.
Histoire modifier
Historiquement, ces deux énoncés ont été démontrés dans l'ordre inverse. James a d'abord prouvé sa caractérisation de la réflexivité, en 1957, pour des espaces de Banach séparables[3] puis, en 1964, pour des espaces de Banach quelconques[4]. Comme cette réflexivité se formule en termes de faible compacité de la boule unité et que celle-ci est faiblement fermée, Victor Klee avait conjecturé, en 1962, la généralisation naturelle du théorème de James à des parties faiblement fermées quelconques[5] et c'est en 1964 que James démontra ce critère de compacité[6]. En 1971, il mit en évidence la nécessité de l'hypothèse de complétude de l'espace vectoriel normé X[7] et en 1972, il étendit son critère de compacité au cas où X est un espace localement convexe[8].
Notes et références modifier
- (en) Robert E. Megginson, An Introduction to Banach Space Theory, New York/Berlin/Heidelberg, Springer, coll. « GTM » (no 183), , 596 p. (ISBN 0-387-98431-3, lire en ligne), Theorem 2.9.3
- Megginson 1998, Theorem 2.9.4
- (en) Robert C. James, « Reflexivity and the Supremum of Linear Functionals », Ann. Math., vol. 66, no 1, , p. 159-169.
- (en) Robert C. James, « Characterization of Reflexivity », Studia Mathematica, vol. 23, , p. 205-216 (lire en ligne).
- (en) Victor Klee, « A conjecture on weak compactness », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 104, , p. 398-402 (lire en ligne).
- (en) Robert C. James, « Weakly Compact Sets », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 113, , p. 129-140 (lire en ligne).
- (en) Robert C. James, « A counterexample for a sup theorem in normed space », Israel J. Math., vol. 9, no 4, , p. 511-512 (DOI 10.1007/BF02771466).
- (en) Robert C. James, « Reflexivity and the sup of linear functionals », Israel J. Math., vol. 13, nos 3-4, , p. 289-300 (MR 338742).
