Théorème de Kronecker (approximation diophantienne)

Le théorème de Kronecker en théorie des nombres est un résultat d'approximation diophantienne simultanée de N réels. Il généralise (dans une certaine mesure) le théorème d'approximation de Dirichlet.

Énoncé

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Un énoncé du théorème est le suivant (il en existe d'autres, plus généraux)[1] :

Soient a = (a1, … an) un n-uplet de nombres réels et t son image dans le groupe quotient n/ℤn. Le sous-groupe de ℝn/ℤn engendré par cet élément t est dense dans ce groupe topologique si et seulement si les n + 1 réels 1, a1, … an sont ℚ-linéairement indépendants.

Le fait que cette condition est nécessaire est immédiat. Qu'elle est suffisante se traduit plus concrètement par :

Si les n + 1 réels 1, a1, … an sont ℚ-linéairement indépendants alors,
pour tous réels b1, … , bn et tout ε > 0, il existe un entier relatif q tel que

d(qak – bk, ℤ) < ε pour k = 1, … , n.

Le théorème d'approximation de Dirichlet concerne le cas où tous les bk sont nuls et garantit alors, sans hypothèse d'indépendance, l'existence d'un tel entier q, avec de plus q minoré par 1 et majoré explicitement en fonction de ε.

Démonstration

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La démonstration originelle de Leopold Kronecker[2] est difficile à lire. Kurt Mahler[3] en a fourni une autre grâce à sa théorie géométrique des nombres. En voici une moins conceptuelle mais extrêmement simple[4].

Notons ║ ║ la norme « infini » sur ℝn, c'est-à-dire le maximum des valeurs absolues des composantes. Il s'agit de montrer, sous les hypothèses du théorème, qu'il existe un entier q tel que la distance d(qa – b, ℤn) pour cette norme soit inférieure à ε. On raisonne par récurrence sur n (pour n = 0, il n'y a rien à démontrer).

Le théorème de Dirichlet fournit un entier non nul s et un n-uplet p d'entiers tels que le n-uplet a' = sa – p soit de norme inférieure à ε.

D'après l'hypothèse sur a, le réel a'n est non nul et les n réels 1, a'1/a'n, … , a'n – 1/a'n sont ℚ-linéairement indépendants. Par hypothèse de récurrence, il existe donc un entier m tel que le réel r = (bn + m)/a'n vérifie : d(ra'k – bk, ℤ) < ε/2 pour k = 1, … , n – 1. Comme de plus d(ra'n – bn, ℤ) = 0, on a donc d(ra' – b, ℤn) < ε/2.

Soit t l'entier le plus proche du réel r, alors q = ts convient car d(tsa – b, ℤn) = d(ta' – b, ℤn) ≤ ║(t – r)a'║ + d(ra' – b, ℤn) < ε/2 + ε/2 = ε.

Notes et références

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  1. (en) « Kronecker theorem », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
  2. (de) L. Kronecker, « Näherungsweise ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen », S.-B. Preuss. Akad. Wiss.,‎ , p. 1179-83, 1271-99 (lire en ligne) (Werke III (1), p. 47-109).
  3. (en) K. Mahler, « A remark on Kronecker’s theorem », Enseignement Math., vol. XII, no 3,‎ , p. 183-189 (lire en ligne).
  4. Fournie par GH sur MathOverflow.

Articles connexes

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