Théorème de Kruskal-Katona

En combinatoire algébrique, le théorème de Kruskal-Katona, nommé d'après Joseph Kruskal et Gyula O. H. Katona, caractérise les f-vecteurs de complexes simpliciaux abstraits. Il généralise le théorème d'Erdős-Ko-Rado et peut, comme lui, être reformulé en termes d'hypergraphes uniformes. Il a été démontré indépendamment par Marcel-Paul Schützenberger, mais cette contribution est passée inaperçue pendant plusieurs années.

Énoncés

Notation

Étant donné deux entiers strictement positifs N et i, N s'écrit de façon unique comme une somme de la forme suivante de coefficients binomiaux :

$N={\binom {n_{i}}{i}}+{\binom {n_{i-1}}{i-1}}+\ldots +{\binom {n_{j}}{j}},\quad n_{i}>n_{i-1}>\ldots >n_{j}\geq j\geq 1.$

On peut construire ce développement par un algorithme glouton : on choisit pour n_i le plus grand n tel que $\scriptstyle N\geq {\binom {n}{i}}$, on remplace N par la différence et i par i – 1, et on recommence jusqu'à ce que la différence soit nulle.

Notons

$N^{(i)}={\binom {n_{i}}{i+1}}+{\binom {n_{i-1}}{i}}+\ldots +{\binom {n_{j}}{j+1}}.$

Énoncé pour les complexes simpliciaux

Une suite finie (f₀ = 1, f₁, … , f_{d + 1}) d'entiers strictement positifs est le f-vecteur d'un complexe simplicial de dimension d si et seulement si

$\forall i\in \{1,\ldots ,d+1\},\quad f_{i}\leq f_{i-1}^{(i)}.$

Énoncé pour les hypergraphes uniformes

Soient N ensembles distincts, chacun à i éléments, et B l'ensemble de toutes les parties à i – r éléments de ces N ensembles. Avec les notations ci-dessus pour le développement de N, on a

$|B|\geq {\binom {n_{i}}{i-r}}+{\binom {n_{i-1}}{i-r-1}}+\ldots +{\binom {n_{j}}{j-r}}.$

Ingrédients de preuve

Pour tout i > 0, on fait la liste L_i de tous les ensembles de i entiers strictement positifs, par ordre lexicographique en comparant d'abord les plus grands éléments de ces ensembles. Par exemple

$L_{3}=(\{3,2,1\},\{4,2,1\},\{4,3,1\},\{4,3,2\},\{5,2,1\},\{5,3,1\},\{5,3,2\},\{5,4,1\},\{5,4,2\},\{5,4,3\}\ldots ).$

Étant donné une suite finie f = (f₀ = 1, f₁, … , f_{d + 1}) d'entiers strictement positifs, soit Δ_f l'ensemble dont les éléments sont l'ensemble vide et, pour chaque i de 1 à d + 1, les f_{i – 1} premiers éléments de la liste L_i . On démontre alors que les trois conditions suivantes sont équivalentes :

1. f est le f-vecteur d'un complexe simplicial,
2. Δ_f est un complexe,
3. $\forall i\in \{1,\ldots ,d+1\},\quad f_{i}\leq f_{i-1}^{(i)}.$

L'implication difficile est 1 ⇒ 2.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kruskal–Katona theorem » (voir la liste des auteurs).
• (en) J. B. Kruskal, « The number of simplices in a complex », dans R. Bellman, Mathematical Optimization Techniques, University of California Press, 1963
• (en) G. O. H. Katona, « A theorem of finite sets », dans P. Erdős et G. O. H. Katona, Theory of Graphs, Akadémiai Kiadó and Academic Press, 1968
• (en) D. Knuth, The Art of Computer Programming, ps (lire en ligne), « Prefascicle 3a (A draft of section 7.2.1.3): Generating all combinations »
  Contient une démonstration via un théorème plus général de géométrie discrète
• (en) Richard Stanley, Combinatorics and commutative algebra, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (n^o 41), 1996, 2^e éd. (ISBN 0-8176-3836-9)

Lien externe

(en) Kruskal-Katona theorem sur le wiki Projet Polymath