La démonstration repose sur l'identification de la loi limite par l'étude des fonctions caractéristiques des variables binomiales.
Démonstration du théorème de Moivre-Laplace
Soit
une suite de variables binomiales
.
La fonction caractéristique de
est :
![{\displaystyle \varphi _{X_{n}}(t)=\left(p\mathrm {e} ^{\mathrm {i} t}+q\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1565a64a43ebd9525137d1f7c9e5c9601d933850)
Celle de
![{\displaystyle Z_{n}={\frac {X_{n}-np}{\sqrt {npq}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7892fea70473a6b4732ff64fbdd98b1394f27da8)
est :
Calculons le logarithme de cette fonction :
.
On développe l'exponentielle au 2e ordre, il vient :
.
On développe ensuite le logarithme au 2e ordre, on trouve :
.
On a démontré que :
et on déduit que
.
C'est la fonction caractéristique de la loi normale centrée réduite
.
Autrement dit, si
suit une loi binomiale de paramètres n et p et si
est la fonction de répartition de
alors, pour tout réel t, on a :
ce qui signifie que, pour n assez grand,
ce qui donne, en posant
, l'approximation suivante pour la probabilité d'avoir au plus
succès :
Cette approximation est bonne en général pour
.
Pratiquement, il faut cependant faire attention au fait que les variables
sont discrètes. Graphiquement, cela se traduit par le fait que les extrémités des bâtons du diagramme de la loi binomiale
sont proches de la courbe de densité de la loi normale
.
On peut obtenir une valeur approchée de
par le calcul de la surface sous la courbe de densité comprise entre les droites d'abscisse
et
.
On appelle cette procédure la « correction de continuité ».
On considère la suite de variables
; on a alors
;
D'après les tables, la valeur exacte pour
.
La formule d'approximation avec une loi
donne le résultat :
soit
L'erreur d'approximation est faible.
Pour
, l'approximation usuelle fournit
Sans correction de la continuité de l'approximation, on aurait :
Cette dernière valeur est assez imprécise.
- Denis Lantier, Didier Trotoux, « La Loi des grands nombres : le théorème de De Moivre-Laplace », dans Contribution à une approche historique de l'enseignement des mathématiques : actes de la 6e université d'été interdisciplinaire sur l'histoire des mathématiques, Besançon, Presses universitaires de Franche-Comté/université de Franche-Comté, coll. « Les publications de l'IREM de Besançon », 1995, 490 p. (ISBN 2-909963-136 et 978-2909963136), p. 259-294 [lire en ligne] [PDF].